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指数関数的成長の計算

指数関数的成長の計算では、x(t) = x₀·(1 + r)^t を最終値・成長率・期間のどれについても解けます。例えば1,000が1期あたり5 %で増えると、10期後は1,628.89になり、倍増時間は約14.2期です。

計算例：何を求めますか: 最終値 x(t) · 初期値 x₀ 1,000 · 1期あたりの率 5 % · 期間数 t 10 → 結果：最終値 x(t) = 1,628.89（初期値 1,000、10期後）。出典：Wikipedia – Exponentielles Wachstum。更新日：

%
減衰ならマイナス。−100より大きい値。
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結果

結果
最終値 x(t) = 1,628.89（初期値 1,000、10期後）
すべての値
項目値
初期値 x₀1,000
1期あたりの率 r5 %
期間数 t10
最終値 x(t)1,628.89
全体の成長倍率1.62889
全体の変化62.89 %
連続成長率 k = ln(1 + r)0.0487902
倍増時間14.2067
計算手順
  • x(t) = x₀ · (1 + r)^t = 1,000 · 1.05^10 = 1,628.89。
  • 連続成長率 k = ln(1 + r) = ln(1.05) = 0.0487902。同じ内容を x(t) = x₀ · e^(k·t) とも書けます。
  • 倍増時間 = ln 2 / ln(1.05) = 14.2067期。
率は1期（年・日・時間など）あたりで、一定と仮定しています。現実の現象は一時的にしか指数的でないことも多いです。

計算方法

指数関数的成長とは、各期ごとに同じ割合で量が増えていくことです。増加分そのものも増えるため、複利、細菌の培養、流行初期の感染者数のように、だんだん加速します。

公式と変形

モデルは x(t) = x₀ · (1 + r)^t で、x₀は初期値、rは小数で表した率、tは期間です。最終値はこの式から直接求まります。率は r = (x(t) / x₀)^(1/t) − 1、期間は t = ln(x(t) / x₀) / ln(1 + r) で求めます。倍増時間は ln 2 / ln(1 + r) で、初期値には依存しません。率がマイナスなら、同じ式が半減期を持つ指数的減衰を表します。

3つの計算例

最終値：1,000を5 %で10期続けると 1,000 · 1.05¹⁰ ≈ 1,628.89です。率：100が5期で200になるには 2^(1/5) − 1 ≈ 14.87 %が必要です。期間：100から200へ7 %で増えるには ln 2 / ln 1.07 ≈ 10.24期かかります。

よくある質問

指数関数的成長はどう計算しますか？

x(t) = x₀ · (1 + r)^t を使います。初期値、1期あたりの率（小数）、期間数を入れてください。1,000、5 %、10期なら約1,628.89です。

2つの値から成長率を求めるには？

最終値を初期値で割り、t乗根を取って1を引きます。100から200へ5期なら、1期あたり約14.87 %です。

連続成長率とは何が違いますか？

連続成長率 k = ln(1 + r) は x₀ · e^(k·t) という書き方に対応します。どちらの形でも同じ値が得られ、kはrより小さく、5 %なら約0.0488です。

出典・根拠

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