Calculadora de crescimento exponencial
Esta calculadora crescimento exponencial resolve x(t) = x₀·(1 + r)^t para valor final, taxa ou tempo. Exemplo: 1.000 com 5 % por período chegam a 1.628,89 após 10 períodos; o tempo de duplicação é de cerca de 14,2 períodos.
Exemplo: O que deseja calcular: Valor final x(t) · Valor inicial x₀ 1.000 · Taxa por período 5 % · Número de períodos t 10 → Resultado: Valor final x(t) = 1.628,89 (início 1.000, após 10 períodos). Fonte: Wikipedia – Exponentielles Wachstum. Atualizado em: .
Como o cálculo é feito
Crescimento exponencial significa que uma quantidade aumenta o mesmo percentual a cada período. Por isso ele acelera: o próprio aumento cresce, como nos juros compostos, em culturas de bactérias ou nos casos de um vírus no início de uma onda.
Fórmula e isolamentos
O modelo é x(t) = x₀ · (1 + r)^t, com valor inicial x₀, taxa r (em decimal) e tempo t. O valor final sai direto. A taxa vem de r = (x(t) / x₀)^(1/t) − 1 e o tempo de t = ln(x(t) / x₀) / ln(1 + r). O tempo de duplicação é ln 2 / ln(1 + r) e não depende do valor inicial. Com taxa negativa, a mesma fórmula descreve decaimento exponencial com meia-vida.
Três casos resolvidos
Valor final: 1.000 a 5 % por 10 períodos dão 1.000 · 1,05¹⁰ ≈ 1.628,89. Taxa: para ir de 100 a 200 em 5 períodos são necessários 2^(1/5) − 1 ≈ 14,87 % por período. Tempo: de 100 a 200 a 7 % levam ln 2 / ln 1,07 ≈ 10,24 períodos.
- Regra prática dos 72: tempo de duplicação ≈ 72 / taxa em porcentagem (a 7 %, cerca de 10,3).
- O crescimento linear soma o mesmo valor a cada período; o exponencial multiplica pelo mesmo fator.
- O valor inicial deve ser maior que 0, senão não há razão de crescimento.
Perguntas frequentes
Como calcular o crescimento exponencial?
Com x(t) = x₀ · (1 + r)^t. Informe o valor inicial, a taxa por período em decimal e o número de períodos. Com 1.000, 5 % e 10 períodos dá cerca de 1.628,89.
Como achar a taxa a partir de dois valores?
Divida o valor final pelo inicial, extraia a raiz t-ésima e subtraia 1. De 100 a 200 em 5 períodos são cerca de 14,87 % por período.
Qual a diferença da taxa contínua?
A taxa contínua k = ln(1 + r) pertence à forma x₀ · e^(k·t). As duas formas dão os mesmos valores; k é menor que r, cerca de 0,0488 em vez de 5 %.
Fontes e base legal
Última atualização: · Princípios editoriais
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