Calculateur pour compléter le carré
Ce calculateur compléter le carré transforme ax² + bx + c en forme canonique. Exemple : x² + 6x + 5 devient (x + 3)² − 4, de sommet (−3, −4) et de racines −5 et −1.
Exemple : Coefficient a (de x²) 1 · Coefficient b (de x) 6 · Constante c 5 → Résultat : f(x) = (x + 3)² − 4, sommet (-3 | -4). Source : Wikipedia – Quadratische Ergänzung. Mise à jour : .
Comment le calcul est fait
Compléter le carré réécrit ax² + bx + c sous la forme a(x + p)² + q, la forme canonique d’où l’on lit directement le sommet et le décalage de la parabole. L’idée est d’ajouter le terme manquant pour faire apparaître une identité remarquable.
Méthode
On met d’abord a en facteur dans les deux premiers termes : a(x² + (b/a)x) + c. Pour obtenir (x + p)², il manque p² dans la parenthèse, avec p = b/(2a). On l’ajoute et on le retranche à l’extérieur, multiplié par a. Il reste q = c − b²/(4a). Le calculateur donne p et q directement et détaille chaque étape.
Deux exemples
Pour x² + 6x + 5, p = 3 et q = 5 − 9 = −4, donc (x + 3)² − 4. Pour 2x² − 8x + 3, p = −2 et q = 3 − 8 = −5, donc 2(x − 2)² − 5, de sommet (2, −5). Les racines viennent du discriminant D = b² − 4ac ; dans le premier exemple D = 16 et les racines sont −5 et −1.
- Un signe moins dans la parenthèse indique un décalage vers la droite : (x − 2)² a son sommet en x = 2.
- Si q est négatif et a positif, le sommet est sous l’axe des x et il y a deux racines.
Questions fréquentes
À quoi sert la complétion du carré ?
À mettre une parabole sous forme canonique, trouver son sommet, résoudre une équation du second degré sans formule ou écrire l’équation d’un cercle avec son centre.
Comment compléter le carré quand a n’est pas 1 ?
On met d’abord a en facteur, on complète la parenthèse avec (b/(2a))² et on compense l’ajout par le facteur a. Le résultat est a(x + b/(2a))² + c − b²/(4a).
Pourquoi écrit-on x + p alors que le sommet est en −p ?
Parce que (x + p)² s’annule exactement pour x = −p. La parenthèse décale la parabole de p unités vers la gauche, ou vers la droite si p est négatif.
Sources et références juridiques
Dernière mise à jour : · Principes éditoriaux
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