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平方完成の計算

平方完成の計算は、係数a、b、cを入力するだけで ax² + bx + c を頂点形に直します。例えば x² + 6x + 5 は (x + 3)² − 4 となり、頂点は(−3, −4)、解は−5と−1です。

計算例：係数 a（x²の係数） 1 · 係数 b（xの係数） 6 · 定数項 c 5 → 結果：f(x) = (x + 3)² − 4、頂点 (-3 | -4)。出典：Wikipedia – Quadratische Ergänzung。更新日：

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結果

結果
f(x) = (x + 3)² − 4、頂点 (-3 | -4)
すべての値
項目値
平行移動 p = b / (2a)3
定数 q = c − b² / (4a)-4
頂点 (−p, q)(-3 | -4)
判別式 D = b² − 4ac16
解x₁ = -5, x₂ = -1
計算手順
  • 出発点：ax² + bx + c = a·(x + b/(2a))² + c − b²/(4a)。p = b/(2a)、q = c − b²/(4a)です。
  • p = b / (2a) = 6 / (2·1) = 3。
  • q = c − b² / (4a) = 5 − 6² / (4·1) = -4。
  • 頂点形：f(x) = (x + 3)² − 4、頂点は(-3 | -4)です。
  • 判別式 D = b² − 4ac = 16 ≥ 0 なので、x₁ = -5, x₂ = -1。
a > 0なら放物線は上に開き、a < 0なら下に開きます。頂点は最小または最大となる点です。

計算方法

平方完成は ax² + bx + c を a(x + p)² + q の形に直す方法で、頂点や放物線の平行移動がそのまま読み取れます。足りない項を補って、2乗の形を作るのがポイントです。

手順

まず最初の2項からaをくくり出して a(x² + (b/a)x) + c とします。(x + p)²にするには、かっこの中にp²が足りません（p = b/(2a)）。これを足し、かっこの外でaを掛けた分を引きます。残るのが q = c − b²/(4a) です。このツールはpとqを直接求め、途中式も示します。

計算例

x² + 6x + 5 ではp = 3、q = 5 − 9 = −4なので (x + 3)² − 4 です。2x² − 8x + 3 ではp = −2、q = 3 − 8 = −5なので 2(x − 2)² − 5、頂点は(2, −5)です。解は判別式D = b² − 4acから求まり、最初の例ではD = 16で解は−5と−1です。

よくある質問

平方完成は何に使いますか？

放物線を頂点形にして頂点を求めたり、公式を使わずに2次方程式を解いたり、円の方程式を中心がわかる形に直したりするのに使います。

aが1でないときはどうしますか？

まずaをくくり出し、かっこの中を(b/(2a))²で補い、足した分をaを掛けて引きます。結果は a(x + b/(2a))² + c − b²/(4a) です。

x + pと書くのに頂点が−pなのはなぜですか？

(x + p)²が0になるのはx = −pのときだけだからです。かっこは放物線を左にp、pが負なら右に動かします。

出典・根拠

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