Résoudre une équation du second degré

Q: Comment calculer le discriminant ?

Δ = b² − 4ac. Pour 2x² − 8x + 6 = 0 : Δ = (−8)² − 4 × 2 × 6 = 64 − 48 = 16.

Q: Quelle est la formule des solutions d’une équation du second degré ?

Si Δ > 0 : x₁ = (−b − √Δ) ÷ (2a) et x₂ = (−b + √Δ) ÷ (2a). Si Δ = 0 : x₀ = −b ÷ (2a).

Pour résoudre une équation du second degré, écrivez-la sous la forme ax² + bx + c = 0 et saisissez a, b et c. Le calcul du discriminant, les solutions et les étapes s’affichent.

Exemple : a (coefficient de x²) 2 · b (coefficient de x) -8 · c (terme constant) 6 → Solutions : x₁ = 1; x₂ = 3. Source : Wolfram MathWorld – Quadratic formula and discriminant. Mise à jour : 30 septembre 2026.

a (coefficient de x²)

b (coefficient de x)

c (terme constant)

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Résultat

Solutions: x₁ = 1; x₂ = 3
Forme exacte: –
Solutions complexes: –
Discriminant Δ: D = 16 > 0 → deux solutions réelles
Sommet de la parabole: S(2 | −2)
Forme factorisée: 2 · (x − 1) · (x − 3)
Somme et produit des racines: x₁ + x₂ = 4; x₁ · x₂ = 3
Étapes du calcul: 2x² − 8x + 6 = 0
D = b² − 4ac = (−8)² − 4 · 2 · 6 = 64 − 48 = 16
x = (−b ± √D) ÷ (2a) = (8 ± √16) ÷ 4
x₁ = (8 − 4) ÷ 4 ≈ 1; x₂ = (8 + 4) ÷ 4 ≈ 3
Forme normalisée (division par a) : x² + px + q = 0 avec p = −4, q = 3
x = −p/2 ± √((p/2)² − q) = 2 ± √(4 − 3) = 2 ± 1
Vérification : x₁ + x₂ = −b ÷ a et x₁ × x₂ = c ÷ a; a > 0 : la parabole est tournée vers le haut, le sommet est son minimum.

Comment le calcul est fait

Une équation du second degré ax² + bx + c = 0 se résout avec le discriminant Δ = b² − 4ac : si Δ > 0, deux solutions x = (−b ± √Δ) ÷ (2a) ; si Δ = 0, une solution double −b ÷ (2a) ; si Δ < 0, aucune solution réelle. Exemple : 2x² − 8x + 6 = 0 donne Δ = 16, puis x₁ = 1 et x₂ = 3.

Mettre l’équation sous la forme ax² + bx + c = 0

Tout passer du même côté : 3x² = 5x − 2 devient 3x² − 5x + 2 = 0, donc a = 3, b = −5, c = 2.
Un terme absent a un coefficient nul : x² − 9 = 0 → b = 0 ; x² + 4x = 0 → c = 0.
Le signe fait partie du coefficient : −x² signifie a = −1.

Forme exacte, sommet et factorisation

Avec des coefficients entiers, les solutions sont aussi données sous forme exacte : fraction (6x² − x − 2 = 0 → −1/2 et 2/3) ou racine simplifiée (x² − 3x + 1 = 0 → (3 ± √5) ÷ 2). Vous obtenez également le sommet S(−b/(2a) ; c − b²/(4a)), la forme factorisée a(x − x₁)(x − x₂) et la vérification par somme et produit des racines. Si Δ < 0, les solutions complexes sont affichées (par ex. 1 ± 2i), comme en terminale option maths expertes.

Précision du calcul

Quand b² est très grand devant 4ac, la formule directe perd des chiffres. Le calculateur utilise donc la variante numériquement stable (Numerical Recipes) : q = −(b + signe(b)·√Δ)/2, x₁ = q/a, x₂ = c/q. Les étapes affichées gardent la formule du cours.

Pour tracer la parabole et lire les racines, utilisez le traceur de courbe ; pour vérifier une racine carrée, la calculatrice de puissance ; pour les fractions, la calculatrice de fractions.

Questions fréquentes

Comment calculer le discriminant ?

Δ = b² − 4ac. Pour 2x² − 8x + 6 = 0 : Δ = (−8)² − 4 × 2 × 6 = 64 − 48 = 16.

Quelle est la formule des solutions d’une équation du second degré ?

Si Δ > 0 : x₁ = (−b − √Δ) ÷ (2a) et x₂ = (−b + √Δ) ÷ (2a). Si Δ = 0 : x₀ = −b ÷ (2a).

Que se passe-t-il si le discriminant est négatif ?

Il n’y a pas de solution réelle : la parabole ne coupe pas l’axe des abscisses. Dans ℂ, les solutions sont (−b ± i√(−Δ)) ÷ (2a).

Comment résoudre x² − 9 = 0 sans delta ?

On isole x² : x² = 9, donc x = 3 ou x = −3. Pour x² + 4x = 0, on factorise : x(x + 4) = 0, donc x = 0 ou x = −4.

Comment factoriser un trinôme du second degré ?

Avec les racines x₁ et x₂ : ax² + bx + c = a(x − x₁)(x − x₂). Exemple : 2x² − 8x + 6 = 2(x − 1)(x − 3).

Sources et références juridiques

Dernière mise à jour : 30 septembre 2026