PL

Uzupełnianie do kwadratu kalkulator

Ten uzupełnianie do kwadratu kalkulator zamienia ax² + bx + c na postać kanoniczną. Przykład: x² + 6x + 5 daje (x + 3)² − 4, wierzchołek (−3, −4) i miejsca zerowe −5 oraz −1.

Przykład: Współczynnik a (przy x²) 1 · Współczynnik b (przy x) 6 · Wyraz wolny c 5 → Wynik: f(x) = (x + 3)² − 4, wierzchołek (-3 | -4). Źródło: Wikipedia – Quadratische Ergänzung. Stan na: .

Nie może być 0.
Moje narzędziaWpisane dane są zapisywane tylko w tej przeglądarce.

Wynik

Wynik
f(x) = (x + 3)² − 4, wierzchołek (-3 | -4)
Wszystkie wartości
WielkośćWartość
Przesunięcie p = b / (2a)3
Stała q = c − b² / (4a)-4
Wierzchołek (−p, q)(-3 | -4)
Wyróżnik D = b² − 4ac16
Miejsca zerowex₁ = -5, x₂ = -1
Obliczenia krok po kroku
  • Punkt wyjścia: ax² + bx + c = a·(x + b/(2a))² + c − b²/(4a). Składniki to p = b/(2a) i q = c − b²/(4a).
  • p = b / (2a) = 6 / (2·1) = 3.
  • q = c − b² / (4a) = 5 − 6² / (4·1) = -4.
  • Postać kanoniczna: f(x) = (x + 3)² − 4, wierzchołek to (-3 | -4).
  • Wyróżnik D = b² − 4ac = 16 ≥ 0, więc x₁ = -5, x₂ = -1.
Parabola jest skierowana w górę dla a > 0 i w dół dla a < 0. Wierzchołek to jej najniższy lub najwyższy punkt.

Jak to obliczamy

Uzupełnianie do kwadratu zapisuje ax² + bx + c jako a(x + p)² + q, czyli postać kanoniczną, z której od razu widać wierzchołek i przesunięcie paraboli. Trik polega na dodaniu brakującego składnika, by powstał wzór skróconego mnożenia.

Sposób postępowania

Najpierw wyłącz a z pierwszych dwóch składników: a(x² + (b/a)x) + c. Aby powstało (x + p)², w nawiasie brakuje p², gdzie p = b/(2a). Dodajesz je i odejmujesz poza nawiasem, pomnożone przez a. Zostaje q = c − b²/(4a). Kalkulator podaje p i q od razu i pokazuje każdy krok.

Dwa przykłady

Dla x² + 6x + 5 mamy p = 3 i q = 5 − 9 = −4, czyli (x + 3)² − 4. Dla 2x² − 8x + 3 jest p = −2 i q = 3 − 8 = −5, czyli 2(x − 2)² − 5 z wierzchołkiem (2, −5). Miejsca zerowe wynikają z wyróżnika D = b² − 4ac; w pierwszym przykładzie D = 16, a pierwiastki to −5 i −1.

Najczęściej zadawane pytania

Do czego służy uzupełnianie do kwadratu?

Do zapisu paraboli w postaci kanonicznej, wyznaczenia wierzchołka, rozwiązywania równań kwadratowych bez wzoru lub przekształcania równania okręgu do postaci ze środkiem.

Jak uzupełniać do kwadratu, gdy a jest różne od 1?

Najpierw wyłącz a, uzupełnij nawias o (b/(2a))² i zrównoważ dodatek czynnikiem a. Wynik to a(x + b/(2a))² + c − b²/(4a).

Dlaczego w zapisie jest x + p, a wierzchołek leży w −p?

Bo (x + p)² jest równe zero dokładnie dla x = −p. Nawias przesuwa parabolę o p w lewo, a przy ujemnym p w prawo.

Źródła i podstawa prawna

Stan na: · Zasady redakcyjne

Podobne narzędzia