Calcolatore del completamento del quadrato
Questo calcolatore completamento del quadrato trasforma ax² + bx + c in forma canonica. Esempio: x² + 6x + 5 diventa (x + 3)² − 4, con vertice (−3, −4) e radici −5 e −1.
Esempio: Coefficiente a (di x²) 1 · Coefficiente b (di x) 6 · Termine noto c 5 → Risultato: f(x) = (x + 3)² − 4, vertice (-3 | -4). Fonte: Wikipedia – Quadratische Ergänzung. Aggiornato al: .
Come si calcola
Il completamento del quadrato riscrive ax² + bx + c come a(x + p)² + q, la forma canonica da cui si leggono subito il vertice e la traslazione della parabola. L’idea è aggiungere il termine mancante per ottenere il quadrato di un binomio.
Procedimento
Si raccoglie prima a nei primi due termini: a(x² + (b/a)x) + c. Per ottenere (x + p)² nella parentesi manca p², con p = b/(2a). Lo si aggiunge e lo si sottrae fuori dalla parentesi, moltiplicato per a. Resta q = c − b²/(4a). Il calcolatore fornisce p e q direttamente e mostra ogni passaggio.
Due esempi
Per x² + 6x + 5, p = 3 e q = 5 − 9 = −4, quindi (x + 3)² − 4. Per 2x² − 8x + 3, p = −2 e q = 3 − 8 = −5, quindi 2(x − 2)² − 5 con vertice (2, −5). Le radici derivano dal discriminante D = b² − 4ac; nel primo esempio D = 16 e le radici sono −5 e −1.
- Un segno meno nella parentesi indica una traslazione a destra: (x − 2)² ha il vertice in x = 2.
- Se q è negativo e a positivo, il vertice sta sotto l’asse x e ci sono due radici.
Domande frequenti
A cosa serve il completamento del quadrato?
A scrivere una parabola in forma canonica, trovarne il vertice, risolvere equazioni di secondo grado senza formula o riscrivere l’equazione di una circonferenza con il centro.
Come si completa il quadrato se a non è 1?
Si raccoglie a, si completa la parentesi con (b/(2a))² e si compensa l’aggiunta con il fattore a. Il risultato è a(x + b/(2a))² + c − b²/(4a).
Perché si scrive x + p ma il vertice è in −p?
Perché (x + p)² si annulla esattamente per x = −p. La parentesi trasla la parabola di p unità a sinistra, o a destra se p è negativo.
Fonti e riferimenti normativi
Aggiornato al: · Principi editoriali
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