Factoriser un polynôme
Pour factoriser un polynôme, saisissez-le : 2x³ + 2x² − 12x devient 2x(x + 3)(x − 2), de racines 0, −3 et 2. Toutes les étapes et la vérification sont affichées.
Source : Wikipedia – Faktorisierung (Polynome). Mise à jour : .
Comment le calcul est fait
Factoriser, c’est écrire un polynôme comme produit de facteurs plus simples. Le produit 2x(x + 3)(x − 2) donne, une fois développé, 2x³ + 2x² − 12x. La forme factorisée permet de lire directement les racines, car un produit est nul quand l’un de ses facteurs l’est.
Comment l’outil procède
Il met d’abord en évidence le plus grand facteur commun des coefficients et les plus petites puissances de la variable. Puis il cherche des racines rationnelles p/q : d’après le théorème des racines rationnelles, p divise le terme constant et q divise le coefficient dominant. Chaque racine trouvée donne un facteur du premier degré (q·x − p) par lequel on divise le polynôme, jusqu’à épuisement des racines. Dans l’exemple, il reste x² + x − 6 = (x + 3)(x − 2) en plus du facteur 2x.
Limites
L’outil factorise dans les nombres rationnels. Un reste comme x² + 1 n’a pas de racine réelle et reste tel quel. À partir du degré 4, un reste sans racine rationnelle peut malgré tout se décomposer en facteurs du second degré, par exemple x⁴ + 4 = (x² + 2x + 2)(x² − 2x + 2) ; l’outil ne le détecte pas.
- Une seule variable est admise ; exposants de 0 à 20.
- Les identités remarquables comme x² − 9 ou x² + 6x + 9 sont couvertes par les racines.
- La vérification redéveloppe les facteurs et compare avec votre saisie.
Questions fréquentes
Comment factoriser un polynôme ?
On met les facteurs communs en évidence, puis on cherche les racines et on détache, pour chaque racine x₀, le facteur (x − x₀). x² − 5x + 6 a pour racines 2 et 3, donc (x − 2)(x − 3).
Comment trouver les racines rationnelles ?
On essaie les diviseurs du terme constant divisés par les diviseurs du coefficient dominant. Pour 2x² − 3x + 1, les racines sont 1 et 1/2, d’où (x − 1)(2x − 1).
Que signifie un reste qui n’est pas factorisé davantage ?
Il n’a pas de racine rationnelle. Pour x² + 1, il n’existe aucune racine réelle, la factorisation reste donc (x² + 1).
Sources et références juridiques
- Wikipedia – Faktorisierung (Polynome)
- Wikipedia – Satz über rationale Nullstellen (théorème des racines rationnelles)
- Wikipedia – Factorization of polynomials
Dernière mise à jour : · Principes éditoriaux
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