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Quadratische Ergänzung Rechner

Dieser Quadratische Ergänzung Rechner formt ax² + bx + c in die Scheitelform um. Beispiel: x² + 6x + 5 wird zu (x + 3)² − 4 mit dem Scheitelpunkt S(−3 | −4) und den Nullstellen −5 und −1.

Beispiel: Koeffizient a (vor x²) 1 · Koeffizient b (vor x) 6 · Konstante c 5 → Ergebnis: f(x) = (x + 3)² − 4, Scheitelpunkt S(-3 | -4). Quelle: Wikipedia – Quadratische Ergänzung. Stand: .

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Ergebnis

Ergebnis
f(x) = (x + 3)² − 4, Scheitelpunkt S(-3 | -4)
Alle Werte
GrößeWert
Verschiebung p = b / (2a)3
Konstante q = c − b² / (4a)-4
Scheitelpunkt S(−p | q)(-3 | -4)
Diskriminante D = b² − 4ac16
Nullstellenx₁ = -5, x₂ = -1
Rechenweg
  • Ausgangspunkt: ax² + bx + c = a·(x + b/(2a))² + c − b²/(4a). Die Terme sind p = b/(2a) und q = c − b²/(4a).
  • p = b / (2a) = 6 / (2·1) = 3.
  • q = c − b² / (4a) = 5 − 6² / (4·1) = -4.
  • Scheitelform: f(x) = (x + 3)² − 4, der Scheitelpunkt ist S(-3 | -4).
  • Diskriminante D = b² − 4ac = 16 ≥ 0, also x₁ = -5, x₂ = -1.
Die Parabel öffnet sich nach oben, wenn a > 0, und nach unten, wenn a < 0. Der Scheitelpunkt ist ihr tiefster bzw. höchster Punkt.

So wird gerechnet

Die quadratische Ergänzung wandelt ax² + bx + c in die Scheitelform a(x + p)² + q um, aus der sich Scheitelpunkt und Verschiebung der Parabel direkt ablesen lassen. Der Trick: Man ergänzt den fehlenden Summanden, damit eine binomische Formel entsteht.

Vorgehen

Zuerst klammert man a aus den beiden ersten Termen aus: a(x² + (b/a)x) + c. In der Klammer fehlt für die binomische Formel (x + p)² der Term p² mit p = b/(2a). Man addiert ihn und zieht ihn außerhalb der Klammer mit dem Faktor a wieder ab. Übrig bleibt q = c − b²/(4a). Der Rechner liefert p und q direkt und zeigt jeden Schritt.

Zwei Beispiele

Für x² + 6x + 5 ist p = 3 und q = 5 − 9 = −4, also (x + 3)² − 4. Für 2x² − 8x + 3 ist p = −2 und q = 3 − 8 = −5, also 2(x − 2)² − 5 mit dem Scheitelpunkt S(2 | −5). Die Nullstellen folgen aus der Diskriminante D = b² − 4ac; im ersten Beispiel ist D = 16, die Nullstellen sind −5 und −1.

Häufige Fragen

Wofür braucht man die quadratische Ergänzung?

Um eine Parabel in Scheitelform zu bringen, den Scheitelpunkt zu bestimmen, quadratische Gleichungen ohne Formel zu lösen oder eine Kreisgleichung auf Mittelpunktsform umzuformen.

Wie ergänzt man quadratisch, wenn a ungleich 1 ist?

Erst a ausklammern, dann in der Klammer mit (b/(2a))² ergänzen und den Zusatz mit dem Faktor a wieder ausgleichen. Das Ergebnis lautet a(x + b/(2a))² + c − b²/(4a).

Warum steht in der Scheitelform x + p, aber der Scheitel liegt bei −p?

Weil (x + p)² genau dann null ist, wenn x = −p gilt. Die Klammer verschiebt die Parabel um p nach links, bei negativem p nach rechts.

Quellen und Rechtsgrundlagen

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