Calcul bissectrice d’un triangle
Ce calcul bissectrice part des trois côtés d’un triangle et donne la longueur des trois bissectrices, les demi-angles et les deux segments que chaque bissectrice découpe sur le côté opposé. Exemple : pour les côtés 5, 6 et 7, la bissectrice de l’angle opposé au côté a mesure 5,9822 et partage ce côté en 2,6923 et 2,3077.
Exemple : Côté a 5 · Côté b 6 · Côté c 7 → Résultat : Bissectrices : w_α = 5,9822 · w_β = 5,1235 · w_γ = 4,2251. Source : Weisstein, Eric W.: Angle Bisector. MathWorld – A Wolfram Web Resource (longueur de la bissectrice dans un triangle). Mise à jour : .
Comment le calcul est fait
Une bissectrice partage un angle en deux angles égaux. Dans un triangle, la bissectrice de chaque angle va du sommet au côté opposé – et le point où elle le coupe obéit à une règle simple. Le calculateur n’utilise que les trois longueurs des côtés : aucun angle n’est nécessaire.
Longueur d’une bissectrice
Pour la bissectrice de l’angle α (opposé au côté a, formé par les côtés b et c) : w_α = √(b · c · [(b + c)² − a²]) ÷ (b + c). On obtient la même valeur avec w_α = 2 · b · c · cos(α ÷ 2) ÷ (b + c). Pour les deux autres bissectrices, on permute les lettres.
Théorème de la bissectrice
La bissectrice partage le côté opposé dans le rapport des deux côtés adjacents. La bissectrice de α partage le côté a en a · c ÷ (b + c), le segment du côté de c, et a · b ÷ (b + c), le segment du côté de b. Au côté adjacent le plus long correspond toujours le segment le plus long.
Exemple détaillé
Triangle avec a = 5, b = 6, c = 7. Angle : cos α = (36 + 49 − 25) ÷ 84 = 0,7143, donc α = 44,4153° et sa moitié 22,2077°. Longueur : w_α = √(6 × 7 × (169 − 25)) ÷ 13 = √6048 ÷ 13 = 5,9822. Partage du côté a : 5 × 7 ÷ 13 = 2,6923 et 5 × 6 ÷ 13 = 2,3077 ; les deux segments totalisent 5 et sont dans le rapport 7 : 6. Les deux autres bissectrices mesurent 5,1235 et 4,2251.
Le centre du cercle inscrit
Les trois bissectrices se coupent en un point, le centre du cercle inscrit. Il est à la même distance des trois côtés. Le rayon de ce cercle est l’aire divisée par le demi-périmètre : ici 14,6969 ÷ 9 = 1,6330.
- Dans un triangle équilatéral, bissectrice, médiane et hauteur sont confondues ; chacune vaut (√3 ÷ 2) fois le côté.
- Dans un triangle isocèle, ce n’est vrai que pour la bissectrice de l’angle au sommet.
Questions fréquentes
Comment calculer la longueur d’une bissectrice dans un triangle ?
Avec les trois côtés : w_α = √(b · c · [(b + c)² − a²]) ÷ (b + c), où a est le côté opposé à l’angle partagé. Pour a = 5, b = 6, c = 7, on obtient 5,9822.
Que dit le théorème de la bissectrice ?
La bissectrice d’un angle partage le côté opposé dans le rapport des deux côtés qui forment l’angle. Dans le triangle 5-6-7, le côté a = 5 est partagé en 2,6923 et 2,3077, soit un rapport de 7 : 6.
La bissectrice est-elle identique à la médiane ou à la hauteur ?
En général, non. La médiane aboutit au milieu du côté opposé, la hauteur le coupe à angle droit, la bissectrice partage l’angle en deux. Les trois ne sont confondues que dans un triangle équilatéral ou pour l’angle au sommet d’un triangle isocèle.
Où se coupent les trois bissectrices ?
Au centre du cercle inscrit. Son rayon est égal à l’aire divisée par le demi-périmètre : 1,6330 pour le triangle 5-6-7.
Comment tracer une bissectrice au compas ?
Tracez un arc de cercle centré sur le sommet et coupant les deux côtés de l’angle. À partir de ces deux points, tracez deux arcs de même rayon qui se croisent. La droite passant par le sommet et ce point de croisement est la bissectrice.
Sources et références juridiques
- Weisstein, Eric W.: Angle Bisector. MathWorld – A Wolfram Web Resource (longueur de la bissectrice dans un triangle)
- Weisstein, Eric W.: Angle Bisector Theorem. MathWorld – A Wolfram Web Resource (division du côté opposé dans le rapport des côtés adjacents)
Dernière mise à jour : · Principes éditoriaux
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