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Winkelhalbierende im Dreieck berechnen

Hier können Sie die Winkelhalbierende berechnen: Aus den drei Seiten eines Dreiecks erhalten Sie die Länge aller drei Winkelhalbierenden, die halben Winkel und die beiden Abschnitte, in die jede Winkelhalbierende die Gegenseite teilt. Beispiel: Bei den Seiten 5, 6 und 7 ist die Winkelhalbierende des Winkels gegenüber der Seite a 5,9822 lang und teilt diese Seite in 2,6923 und 2,3077.

Quelle: Weisstein, Eric W.: Angle Bisector. MathWorld – A Wolfram Web Resource (Länge der Winkelhalbierenden im Dreieck). Stand: .

Liegt dem Winkel α gegenüber. Beliebige Längeneinheit – für alle drei Seiten dieselbe.
Liegt dem Winkel β gegenüber.
Liegt dem Winkel γ gegenüber.
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Ergebnis

Ergebnis
Winkelhalbierende: w_α = 5,9822 · w_β = 5,1235 · w_γ = 4,2251
Die drei Winkelhalbierenden
WinkelGrößeHalber WinkelLänge der WinkelhalbierendenTeilt die Gegenseite in
α44,4153°22,2077°5,9822a = 2,6923 + 2,3077
β57,1217°28,5608°5,1235b = 2,5 + 3,5
γ78,463°39,2315°4,2251c = 3,8182 + 3,1818
Rechenweg für die Winkelhalbierende von α
  • Winkel aus dem Kosinussatz: cos α = (b² + c² − a²) ÷ (2 · b · c) = (36 + 49 − 25) ÷ 84, also α = 44,4153° und α ÷ 2 = 22,2077°.
  • Länge: w_α = √(b · c · [(b + c)² − a²]) ÷ (b + c) = √(6 × 7 × (169 − 25)) ÷ 13 = 5,9822.
  • Winkelhalbierendensatz: Die Seite a = 5 wird im Verhältnis c : b = 7 : 6 geteilt, also in a · c ÷ (b + c) = 2,6923 (an der Seite c) und a · b ÷ (b + c) = 2,3077 (an der Seite b).
  • Alle drei Winkelhalbierenden schneiden sich im Inkreismittelpunkt. Inkreisradius r = Fläche ÷ halber Umfang = 14,6969 ÷ 9 = 1,633.
Innere Winkelhalbierende eines Dreiecks mit den Seiten a, b, c (a liegt α gegenüber, b β, c γ). In der Tabelle steht zuerst der Abschnitt an der nächsten Ecke in der Reihenfolge A → B → C → A. Die Werte sind auf vier Nachkommastellen gerundet.

So wird gerechnet

Eine Winkelhalbierende teilt einen Winkel in zwei gleich große Hälften. Im Dreieck verläuft die Winkelhalbierende jedes Winkels von der Ecke zur gegenüberliegenden Seite – und wo sie dort auftrifft, folgt einer einfachen Regel. Der Rechner arbeitet allein mit den drei Seitenlängen; Winkel müssen nicht bekannt sein.

Länge einer Winkelhalbierenden

Für die Winkelhalbierende des Winkels α (gegenüber der Seite a, eingeschlossen von b und c) gilt: w_α = √(b · c · [(b + c)² − a²]) ÷ (b + c). Denselben Wert liefert w_α = 2 · b · c · cos(α ÷ 2) ÷ (b + c). Für die beiden anderen Winkelhalbierenden werden die Buchstaben entsprechend vertauscht.

Winkelhalbierendensatz

Die Winkelhalbierende teilt die Gegenseite im Verhältnis der beiden anliegenden Seiten. Die Winkelhalbierende von α teilt die Seite a in a · c ÷ (b + c), den Abschnitt an der Seite c, und a · b ÷ (b + c), den Abschnitt an der Seite b. Zur längeren anliegenden Seite gehört immer der längere Abschnitt.

Beispiel

Dreieck mit a = 5, b = 6, c = 7. Winkel: cos α = (36 + 49 − 25) ÷ 84 = 0,7143, also α = 44,4153° und die Hälfte 22,2077°. Länge: w_α = √(6 × 7 × (169 − 25)) ÷ 13 = √6048 ÷ 13 = 5,9822. Teilung der Seite a: 5 × 7 ÷ 13 = 2,6923 und 5 × 6 ÷ 13 = 2,3077; beide Abschnitte ergeben zusammen 5 und stehen im Verhältnis 7 : 6. Die beiden anderen Winkelhalbierenden sind 5,1235 und 4,2251 lang.

Der Inkreismittelpunkt

Die drei Winkelhalbierenden schneiden sich in einem Punkt, dem Inkreismittelpunkt. Er hat von allen drei Seiten denselben Abstand und ist der Mittelpunkt des Inkreises. Dessen Radius ist die Fläche geteilt durch den halben Umfang: hier 14,6969 ÷ 9 = 1,6330.

Häufige Fragen

Wie berechnet man die Länge einer Winkelhalbierenden im Dreieck?

Mit den drei Seiten: w_α = √(b · c · [(b + c)² − a²]) ÷ (b + c), wobei a die Seite gegenüber dem halbierten Winkel ist. Für a = 5, b = 6, c = 7 ergibt sich 5,9822.

Was besagt der Winkelhalbierendensatz?

Die Winkelhalbierende eines Winkels teilt die Gegenseite im Verhältnis der beiden Seiten, die den Winkel einschließen. Im Dreieck 5-6-7 wird die Seite a = 5 in 2,6923 und 2,3077 geteilt – Verhältnis 7 : 6.

Ist die Winkelhalbierende dasselbe wie Seitenhalbierende oder Höhe?

Meist nicht. Die Seitenhalbierende führt zur Mitte der Gegenseite, die Höhe trifft sie im rechten Winkel, die Winkelhalbierende halbiert den Winkel. Alle drei fallen nur im gleichseitigen Dreieck zusammen oder an der Spitze eines gleichschenkligen Dreiecks.

Wo schneiden sich die drei Winkelhalbierenden?

Im Inkreismittelpunkt, dem Mittelpunkt des Inkreises. Dessen Radius ist die Fläche geteilt durch den halben Umfang – 1,6330 beim Dreieck 5-6-7.

Wie konstruiert man eine Winkelhalbierende mit Zirkel und Lineal?

Um den Scheitel einen Kreisbogen schlagen, der beide Schenkel schneidet. Um die beiden Schnittpunkte zwei Bögen mit gleichem Radius zeichnen, die sich kreuzen. Die Gerade vom Scheitel durch diesen Kreuzungspunkt ist die Winkelhalbierende.

Quellen und Rechtsgrundlagen

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