PL

Dwusieczna kąta w trójkącie – kalkulator

Dwusieczna kąta w trójkącie – kalkulator liczy z trzech boków długość wszystkich trzech dwusiecznych, połowy kątów oraz dwa odcinki, na które każda dwusieczna dzieli przeciwległy bok. Przykład: dla boków 5, 6 i 7 dwusieczna kąta naprzeciw boku a ma długość 5,9822 i dzieli ten bok na 2,6923 i 2,3077.

Przykład: Bok a 5 · Bok b 6 · Bok c 7 → Wynik: Dwusieczne: w_α = 5,9822 · w_β = 5,1235 · w_γ = 4,2251. Źródło: Weisstein, Eric W.: Angle Bisector. MathWorld – A Wolfram Web Resource (długość dwusiecznej kąta w trójkącie). Stan na: .

Leży naprzeciw kąta α. Dowolna jednostka długości – ta sama dla wszystkich trzech boków.
Leży naprzeciw kąta β.
Leży naprzeciw kąta γ.
Moje narzędziaWpisane dane są zapisywane tylko w tej przeglądarce.

Wynik

Wynik
Dwusieczne: w_α = 5,9822 · w_β = 5,1235 · w_γ = 4,2251
Trzy dwusieczne
KątMiaraPołowa kątaDługość dwusiecznejDzieli przeciwległy bok na
α44,4153°22,2077°5,9822a = 2,6923 + 2,3077
β57,1217°28,5608°5,1235b = 2,5 + 3,5
γ78,463°39,2315°4,2251c = 3,8182 + 3,1818
Obliczenia dla dwusiecznej kąta α
  • Kąt z twierdzenia cosinusów: cos α = (b² + c² − a²) ÷ (2 · b · c) = (36 + 49 − 25) ÷ 84, więc α = 44,4153°, a α ÷ 2 = 22,2077°.
  • Długość: w_α = √(b · c · [(b + c)² − a²]) ÷ (b + c) = √(6 × 7 × (169 − 25)) ÷ 13 = 5,9822.
  • Twierdzenie o dwusiecznej: bok a = 5 jest dzielony w stosunku c : b = 7 : 6, czyli na a · c ÷ (b + c) = 2,6923 (przy boku c) i a · b ÷ (b + c) = 2,3077 (przy boku b).
  • Wszystkie trzy dwusieczne przecinają się w środku okręgu wpisanego. Promień r = pole ÷ połowa obwodu = 14,6969 ÷ 9 = 1,633.
Dwusieczne kątów wewnętrznych trójkąta o bokach a, b, c (a leży naprzeciw α, b naprzeciw β, c naprzeciw γ). W tabeli jako pierwszy podano odcinek przy kolejnym wierzchołku w porządku A → B → C → A. Wartości zaokrąglono do czterech miejsc po przecinku.

Jak to obliczamy

Dwusieczna dzieli kąt na dwie równe części. W trójkącie dwusieczna każdego kąta biegnie od wierzchołka do przeciwległego boku – a miejsce, w którym go przecina, wynika z prostej reguły. Kalkulator korzysta wyłącznie z długości trzech boków; nie trzeba znać żadnego kąta.

Długość dwusiecznej

Dla dwusiecznej kąta α (naprzeciw boku a, między bokami b i c): w_α = √(b · c · [(b + c)² − a²]) ÷ (b + c). Tę samą wartość daje wzór w_α = 2 · b · c · cos(α ÷ 2) ÷ (b + c). Dla pozostałych dwóch dwusiecznych odpowiednio zamienia się litery.

Twierdzenie o dwusiecznej

Dwusieczna dzieli przeciwległy bok w stosunku dwóch boków przyległych. Dwusieczna kąta α dzieli bok a na a · c ÷ (b + c), odcinek przy boku c, oraz a · b ÷ (b + c), odcinek przy boku b. Dłuższemu bokowi przyległemu zawsze odpowiada dłuższy odcinek.

Przykład

Trójkąt o bokach a = 5, b = 6, c = 7. Kąt: cos α = (36 + 49 − 25) ÷ 84 = 0,7143, więc α = 44,4153°, a jego połowa to 22,2077°. Długość: w_α = √(6 × 7 × (169 − 25)) ÷ 13 = √6048 ÷ 13 = 5,9822. Podział boku a: 5 × 7 ÷ 13 = 2,6923 i 5 × 6 ÷ 13 = 2,3077; oba odcinki dają razem 5 i pozostają w stosunku 7 : 6. Pozostałe dwie dwusieczne mają długości 5,1235 i 4,2251.

Środek okręgu wpisanego

Trzy dwusieczne przecinają się w jednym punkcie – środku okręgu wpisanego. Jest on jednakowo odległy od wszystkich trzech boków. Promień tego okręgu to pole podzielone przez połowę obwodu: tutaj 14,6969 ÷ 9 = 1,6330.

Najczęściej zadawane pytania

Jak obliczyć długość dwusiecznej w trójkącie?

Z trzech boków: w_α = √(b · c · [(b + c)² − a²]) ÷ (b + c), gdzie a to bok naprzeciw dzielonego kąta. Dla a = 5, b = 6, c = 7 wynik to 5,9822.

Co mówi twierdzenie o dwusiecznej?

Dwusieczna kąta dzieli przeciwległy bok w stosunku dwóch boków tworzących ten kąt. W trójkącie 5-6-7 bok a = 5 zostaje podzielony na 2,6923 i 2,3077, czyli w stosunku 7 : 6.

Czy dwusieczna to to samo co środkowa lub wysokość?

Zwykle nie. Środkowa prowadzi do środka przeciwległego boku, wysokość pada na niego pod kątem prostym, a dwusieczna dzieli kąt na pół. Wszystkie trzy pokrywają się tylko w trójkącie równobocznym albo przy wierzchołku między ramionami trójkąta równoramiennego.

Gdzie przecinają się trzy dwusieczne?

W środku okręgu wpisanego. Jego promień to pole podzielone przez połowę obwodu – 1,6330 dla trójkąta 5-6-7.

Jak skonstruować dwusieczną cyrklem i linijką?

Zakreśl z wierzchołka łuk przecinający oba ramiona kąta. Z dwóch punktów przecięcia zakreśl dwa łuki o tym samym promieniu tak, aby się przecięły. Prosta od wierzchołka przez ten punkt przecięcia to dwusieczna.

Źródła i podstawa prawna

Stan na: · Zasady redakcyjne

Podobne narzędzia