Bisectriz de un triángulo: calculadora
Calcule la bisectriz de un triángulo a partir de sus tres lados: obtendrá la longitud de las tres bisectrices, los ángulos mitad y los dos segmentos en que cada una divide el lado opuesto. Ejemplo: con lados 5, 6 y 7, la bisectriz del ángulo opuesto al lado a mide 5,9822 y divide ese lado en 2,6923 y 2,3077.
Ejemplo: Lado a 5 · Lado b 6 · Lado c 7 → Resultado: Bisectrices: w_α = 5,9822 · w_β = 5,1235 · w_γ = 4,2251. Fuente: Weisstein, Eric W.: Angle Bisector. MathWorld – A Wolfram Web Resource (longitud de la bisectriz en un triángulo). Actualizado: .
Cómo se calcula
Una bisectriz divide un ángulo en dos mitades iguales. En un triángulo, la bisectriz de cada ángulo va desde el vértice hasta el lado opuesto, y el punto donde lo corta obedece a una regla sencilla. La calculadora trabaja solo con las tres longitudes de los lados; no hace falta conocer ningún ángulo.
Longitud de una bisectriz
Para la bisectriz del ángulo α (opuesto al lado a y formado por los lados b y c): w_α = √(b · c · [(b + c)² − a²]) ÷ (b + c). El mismo valor se obtiene con w_α = 2 · b · c · cos(α ÷ 2) ÷ (b + c). Para las otras dos bisectrices se intercambian las letras.
Teorema de la bisectriz
La bisectriz divide el lado opuesto en la misma razón que los dos lados contiguos. La bisectriz de α divide el lado a en a · c ÷ (b + c), el segmento junto al lado c, y a · b ÷ (b + c), el segmento junto al lado b. Al lado contiguo más largo le corresponde siempre el segmento más largo.
Ejemplo resuelto
Triángulo con a = 5, b = 6, c = 7. Ángulo: cos α = (36 + 49 − 25) ÷ 84 = 0,7143; por tanto α = 44,4153° y su mitad 22,2077°. Longitud: w_α = √(6 × 7 × (169 − 25)) ÷ 13 = √6048 ÷ 13 = 5,9822. División del lado a: 5 × 7 ÷ 13 = 2,6923 y 5 × 6 ÷ 13 = 2,3077; los dos segmentos suman 5 y están en la razón 7 : 6. Las otras dos bisectrices miden 5,1235 y 4,2251.
El incentro
Las tres bisectrices se cortan en un punto, el incentro. Está a la misma distancia de los tres lados y es el centro de la circunferencia inscrita. Su radio es el área dividida entre el semiperímetro: aquí 14,6969 ÷ 9 = 1,6330.
- En un triángulo equilátero coinciden bisectriz, mediana y altura; cada una mide (√3 ÷ 2) veces el lado.
- En un triángulo isósceles eso solo ocurre con la bisectriz del ángulo desigual.
Preguntas frecuentes
¿Cómo se calcula la longitud de la bisectriz de un triángulo?
Con los tres lados: w_α = √(b · c · [(b + c)² − a²]) ÷ (b + c), donde a es el lado opuesto al ángulo que se divide. Para a = 5, b = 6, c = 7 el resultado es 5,9822.
¿Qué dice el teorema de la bisectriz?
La bisectriz de un ángulo divide el lado opuesto en la razón de los dos lados que forman el ángulo. En el triángulo 5-6-7, el lado a = 5 queda dividido en 2,6923 y 2,3077, razón 7 : 6.
¿La bisectriz es lo mismo que la mediana o la altura?
Por lo general, no. La mediana va al punto medio del lado opuesto, la altura lo corta en ángulo recto y la bisectriz divide el ángulo en dos. Las tres coinciden solo en el triángulo equilátero o en el ángulo desigual de un isósceles.
¿Dónde se cortan las tres bisectrices?
En el incentro, el centro de la circunferencia inscrita. Su radio es el área dividida entre el semiperímetro: 1,6330 en el triángulo 5-6-7.
¿Cómo se traza una bisectriz con regla y compás?
Trace un arco con centro en el vértice que corte los dos lados del ángulo. Desde esos dos puntos de corte, trace dos arcos de igual radio que se crucen. La recta que une el vértice con ese cruce es la bisectriz.
Fuentes y base legal
- Weisstein, Eric W.: Angle Bisector. MathWorld – A Wolfram Web Resource (longitud de la bisectriz en un triángulo)
- Weisstein, Eric W.: Angle Bisector Theorem. MathWorld – A Wolfram Web Resource (división del lado opuesto en la razón de los lados adyacentes)
Última actualización: · Principios editoriales
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