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角の二等分線 長さの計算（三角形）

角の二等分線 長さを、三角形の3辺から求めます。3本すべての二等分線の長さ、半分の角度、二等分線が対辺を分ける2つの長さがわかります。例：3辺が5・6・7のとき、辺aの向かいの角の二等分線の長さは5.9822で、辺aを2.6923と2.3077に分けます。

計算例：辺 a 5 · 辺 b 6 · 辺 c 7 → 結果：角の二等分線：w_α = 5.9822・w_β = 5.1235・w_γ = 4.2251。出典：Weisstein, Eric W.: Angle Bisector. MathWorld – A Wolfram Web Resource (三角形の角の二等分線の長さ)。更新日：

角αの向かいの辺です。単位は自由ですが、3辺とも同じ単位にしてください。
角βの向かいの辺です。
角γの向かいの辺です。
マイツールボックス入力内容はこのブラウザーにのみ保存されます。

結果

結果
角の二等分線：w_α = 5.9822・w_β = 5.1235・w_γ = 4.2251
3本の角の二等分線
角大きさ半分の角度二等分線の長さ対辺の分け方
α44.4153°22.2077°5.9822a = 2.6923 + 2.3077
β57.1217°28.5608°5.1235b = 2.5 + 3.5
γ78.463°39.2315°4.2251c = 3.8182 + 3.1818
角αの二等分線の計算手順
  • 余弦定理で角を求める：cos α = (b² + c² − a²) ÷ (2 · b · c) = (36 + 49 − 25) ÷ 84 より、α = 44.4153°、α ÷ 2 = 22.2077°。
  • 長さ：w_α = √(b · c · [(b + c)² − a²]) ÷ (b + c) = √(6 × 7 × (169 − 25)) ÷ 13 = 5.9822。
  • 角の二等分線の定理：辺 a = 5 は c : b = 7 : 6 の比に分けられ、a · c ÷ (b + c) = 2.6923（辺c側）と a · b ÷ (b + c) = 2.3077（辺b側）になります。
  • 3本の二等分線は内心で交わります。内接円の半径 r = 面積 ÷ 周の長さの半分 = 14.6969 ÷ 9 = 1.633。
3辺がa・b・cの三角形の内角の二等分線です（aはαの向かい、bはβの向かい、cはγの向かい）。表では、A → B → C → A の順で次の頂点側にある部分を先に示しています。値は小数第4位までに四捨五入しています。

計算方法

角の二等分線は、1つの角を等しい2つの角に分ける線です。三角形では、各角の二等分線が頂点から向かいの辺まで伸び、辺と交わる位置は簡単な規則で決まります。このツールは3辺の長さだけで計算でき、角度がわかっている必要はありません。

二等分線の長さ

角α（辺aの向かい、辺bとcにはさまれた角）の二等分線の長さは、w_α = √(b · c · [(b + c)² − a²]) ÷ (b + c) です。w_α = 2 · b · c · cos(α ÷ 2) ÷ (b + c) でも同じ値になります。残りの2本は文字を入れ替えて求めます。

角の二等分線の定理

二等分線は、対辺をとなり合う2辺の比に分けます。角αの二等分線は辺aを、辺c側の a · c ÷ (b + c) と、辺b側の a · b ÷ (b + c) に分けます。長いほうの辺の側が、必ず長い部分になります。

計算例

a = 5、b = 6、c = 7 の三角形。角：cos α = (36 + 49 − 25) ÷ 84 = 0.7143 より α = 44.4153°、その半分は22.2077°。長さ：w_α = √(6 × 7 × (169 − 25)) ÷ 13 = √6048 ÷ 13 = 5.9822。辺aの分け方：5 × 7 ÷ 13 = 2.6923 と 5 × 6 ÷ 13 = 2.3077。合わせると5で、比は 7 : 6 です。残りの2本の長さは5.1235と4.2251です。

内心

3本の角の二等分線は1点で交わり、この点を内心といいます。内心は3辺から等しい距離にあり、内接円の中心です。内接円の半径は「面積 ÷ 周の長さの半分」で、この例では 14.6969 ÷ 9 = 1.6330 です。

よくある質問

三角形の角の二等分線の長さはどう計算しますか？

3辺を使って w_α = √(b · c · [(b + c)² − a²]) ÷ (b + c) で求めます。aは二等分する角の向かいの辺です。a = 5、b = 6、c = 7 なら5.9822です。

角の二等分線の定理とは？

角の二等分線は、対辺を、その角をはさむ2辺の比に分けるという定理です。3辺が5・6・7の三角形では、辺 a = 5 が2.6923と2.3077（7 : 6）に分かれます。

角の二等分線は中線や垂線と同じですか？

ふつうは違います。中線は対辺の中点へ、垂線は対辺に直角に、角の二等分線は角を半分に分けるように引きます。3つが一致するのは、正三角形か、二等辺三角形の頂角の場合だけです。

3本の角の二等分線はどこで交わりますか？

内接円の中心である内心で交わります。内接円の半径は面積を周の長さの半分で割った値で、3辺が5・6・7の三角形では1.6330です。

コンパスと定規で角の二等分線を作図するには？

頂点を中心に、角の2辺と交わる弧をかきます。その2つの交点をそれぞれ中心として、同じ半径の弧を交わるようにかきます。頂点とその交点を結ぶ直線が角の二等分線です。

出典・根拠

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