Bissetriz de um triângulo: calculadora
Calcule a bissetriz de um triângulo a partir dos três lados: você obtém o comprimento das três bissetrizes, a metade de cada ângulo e os dois segmentos em que cada bissetriz divide o lado oposto. Exemplo: com lados 5, 6 e 7, a bissetriz do ângulo oposto ao lado a mede 5,9822 e divide esse lado em 2,6923 e 2,3077.
Exemplo: Lado a 5 · Lado b 6 · Lado c 7 → Resultado: Bissetrizes: w_α = 5,9822 · w_β = 5,1235 · w_γ = 4,2251. Fonte: Weisstein, Eric W.: Angle Bisector. MathWorld – A Wolfram Web Resource (comprimento da bissetriz em um triângulo). Atualizado em: .
Como o cálculo é feito
Uma bissetriz divide um ângulo em duas metades iguais. Em um triângulo, a bissetriz de cada ângulo vai do vértice até o lado oposto – e o ponto em que ela chega segue uma regra simples. A calculadora usa apenas os comprimentos dos três lados; não é preciso conhecer nenhum ângulo.
Comprimento de uma bissetriz
Para a bissetriz do ângulo α (oposto ao lado a, formado pelos lados b e c): w_α = √(b · c · [(b + c)² − a²]) ÷ (b + c). O mesmo valor resulta de w_α = 2 · b · c · cos(α ÷ 2) ÷ (b + c). Para as outras duas bissetrizes, trocam-se as letras.
Teorema da bissetriz interna
A bissetriz divide o lado oposto na razão dos dois lados adjacentes. A bissetriz de α divide o lado a em a · c ÷ (b + c), o segmento junto ao lado c, e a · b ÷ (b + c), o segmento junto ao lado b. Ao lado adjacente maior corresponde sempre o segmento maior.
Exemplo resolvido
Triângulo com a = 5, b = 6, c = 7. Ângulo: cos α = (36 + 49 − 25) ÷ 84 = 0,7143; logo α = 44,4153° e a metade é 22,2077°. Comprimento: w_α = √(6 × 7 × (169 − 25)) ÷ 13 = √6048 ÷ 13 = 5,9822. Divisão do lado a: 5 × 7 ÷ 13 = 2,6923 e 5 × 6 ÷ 13 = 2,3077; os dois segmentos somam 5 e estão na razão 7 : 6. As outras duas bissetrizes medem 5,1235 e 4,2251.
O incentro
As três bissetrizes se encontram em um ponto, o incentro. Ele fica à mesma distância dos três lados e é o centro da circunferência inscrita. O raio dela é a área dividida pelo semiperímetro: aqui 14,6969 ÷ 9 = 1,6330.
- Em um triângulo equilátero, bissetriz, mediana e altura coincidem; cada uma mede (√3 ÷ 2) vezes o lado.
- Em um triângulo isósceles isso vale apenas para a bissetriz do ângulo do vértice.
Perguntas frequentes
Como calcular o comprimento da bissetriz de um triângulo?
Com os três lados: w_α = √(b · c · [(b + c)² − a²]) ÷ (b + c), em que a é o lado oposto ao ângulo dividido. Para a = 5, b = 6, c = 7, o resultado é 5,9822.
O que diz o teorema da bissetriz interna?
A bissetriz de um ângulo divide o lado oposto na razão dos dois lados que formam o ângulo. No triângulo 5-6-7, o lado a = 5 é dividido em 2,6923 e 2,3077, razão de 7 : 6.
Bissetriz é o mesmo que mediana ou altura?
Em geral, não. A mediana vai até o ponto médio do lado oposto, a altura o encontra em ângulo reto e a bissetriz divide o ângulo ao meio. As três coincidem apenas no triângulo equilátero ou no ângulo do vértice de um triângulo isósceles.
Onde as três bissetrizes se encontram?
No incentro, o centro da circunferência inscrita. O raio dela é a área dividida pelo semiperímetro: 1,6330 no triângulo 5-6-7.
Como traçar uma bissetriz com régua e compasso?
Trace um arco com centro no vértice cortando os dois lados do ângulo. A partir dos dois pontos de corte, trace dois arcos de mesmo raio que se cruzem. A reta do vértice até esse cruzamento é a bissetriz.
Fontes e base legal
- Weisstein, Eric W.: Angle Bisector. MathWorld – A Wolfram Web Resource (comprimento da bissetriz em um triângulo)
- Weisstein, Eric W.: Angle Bisector Theorem. MathWorld – A Wolfram Web Resource (divisão do lado oposto na razão dos lados adjacentes)
Última atualização: · Princípios editoriais
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