NL

Bissectrice berekenen in een driehoek

Een bissectrice berekenen doe je hier met de drie zijden van een driehoek: je krijgt de lengte van alle drie de bissectrices, de halve hoeken en de twee stukken waarin elke bissectrice de overstaande zijde verdeelt. Voorbeeld: bij de zijden 5, 6 en 7 is de bissectrice van de hoek tegenover zijde a 5,9822 lang en verdeelt ze die zijde in 2,6923 en 2,3077.

Voorbeeld: Zijde a 5 · Zijde b 6 · Zijde c 7 → Resultaat: Bissectrices: w_α = 5,9822 · w_β = 5,1235 · w_γ = 4,2251. Bron: Weisstein, Eric W.: Angle Bisector. MathWorld – A Wolfram Web Resource (lengte van de bissectrice in een driehoek). Bijgewerkt: .

Ligt tegenover hoek α. Elke lengte-eenheid – dezelfde voor alle drie de zijden.
Ligt tegenover hoek β.
Ligt tegenover hoek γ.
Mijn toolboxJe invoer wordt alleen in deze browser opgeslagen.

Resultaat

Resultaat
Bissectrices: w_α = 5,9822 · w_β = 5,1235 · w_γ = 4,2251
De drie bissectrices
HoekGrootteHalve hoekLengte van de bissectriceVerdeelt de overstaande zijde in
α44,4153°22,2077°5,9822a = 2,6923 + 2,3077
β57,1217°28,5608°5,1235b = 2,5 + 3,5
γ78,463°39,2315°4,2251c = 3,8182 + 3,1818
Berekening voor de bissectrice van α
  • Hoek met de cosinusregel: cos α = (b² + c² − a²) ÷ (2 · b · c) = (36 + 49 − 25) ÷ 84, dus α = 44,4153° en α ÷ 2 = 22,2077°.
  • Lengte: w_α = √(b · c · [(b + c)² − a²]) ÷ (b + c) = √(6 × 7 × (169 − 25)) ÷ 13 = 5,9822.
  • Bissectricestelling: zijde a = 5 wordt verdeeld in de verhouding c : b = 7 : 6, dus in a · c ÷ (b + c) = 2,6923 (aan de kant van zijde c) en a · b ÷ (b + c) = 2,3077 (aan de kant van zijde b).
  • De drie bissectrices snijden elkaar in het middelpunt van de ingeschreven cirkel. Straal r = oppervlakte ÷ halve omtrek = 14,6969 ÷ 9 = 1,633.
Binnenbissectrices van een driehoek met zijden a, b, c (a ligt tegenover α, b tegenover β, c tegenover γ). In de tabel staat eerst het stuk bij het volgende hoekpunt in de volgorde A → B → C → A. De waarden zijn afgerond op vier decimalen.

Zo wordt het berekend

Een bissectrice (deellijn) verdeelt een hoek in twee gelijke helften. In een driehoek loopt de bissectrice van elke hoek van het hoekpunt naar de overstaande zijde – en waar ze daar uitkomt, volgt een eenvoudige regel. De rekenhulp werkt alleen met de drie zijden; hoeken hoef je niet te kennen.

Lengte van een bissectrice

Voor de bissectrice van hoek α (tegenover zijde a, ingesloten door de zijden b en c): w_α = √(b · c · [(b + c)² − a²]) ÷ (b + c). Dezelfde waarde volgt uit w_α = 2 · b · c · cos(α ÷ 2) ÷ (b + c). Voor de andere twee bissectrices verwissel je de letters.

Bissectricestelling

De bissectrice verdeelt de overstaande zijde in de verhouding van de twee aanliggende zijden. De bissectrice van α verdeelt zijde a in a · c ÷ (b + c), het stuk aan de kant van c, en a · b ÷ (b + c), het stuk aan de kant van b. Bij de langste aanliggende zijde hoort altijd het langste stuk.

Uitgewerkt voorbeeld

Driehoek met a = 5, b = 6, c = 7. Hoek: cos α = (36 + 49 − 25) ÷ 84 = 0,7143, dus α = 44,4153° en de helft is 22,2077°. Lengte: w_α = √(6 × 7 × (169 − 25)) ÷ 13 = √6048 ÷ 13 = 5,9822. Verdeling van zijde a: 5 × 7 ÷ 13 = 2,6923 en 5 × 6 ÷ 13 = 2,3077; samen zijn de twee stukken 5 en hun verhouding is 7 : 6. De andere twee bissectrices zijn 5,1235 en 4,2251 lang.

Het middelpunt van de ingeschreven cirkel

De drie bissectrices gaan door één punt, het middelpunt van de ingeschreven cirkel. Dat punt ligt even ver van alle drie de zijden. De straal van die cirkel is de oppervlakte gedeeld door de halve omtrek: hier 14,6969 ÷ 9 = 1,6330.

Veelgestelde vragen

Hoe bereken je de lengte van een bissectrice in een driehoek?

Met de drie zijden: w_α = √(b · c · [(b + c)² − a²]) ÷ (b + c), waarbij a de zijde tegenover de gehalveerde hoek is. Voor a = 5, b = 6, c = 7 is de uitkomst 5,9822.

Wat zegt de bissectricestelling?

De bissectrice van een hoek verdeelt de overstaande zijde in de verhouding van de twee zijden die de hoek insluiten. In de driehoek 5-6-7 wordt zijde a = 5 verdeeld in 2,6923 en 2,3077, een verhouding van 7 : 6.

Is een bissectrice hetzelfde als een zwaartelijn of hoogtelijn?

Meestal niet. De zwaartelijn gaat naar het midden van de overstaande zijde, de hoogtelijn staat er loodrecht op en de bissectrice halveert de hoek. Ze vallen alleen samen in een gelijkzijdige driehoek of bij de tophoek van een gelijkbenige driehoek.

Waar snijden de drie bissectrices elkaar?

In het middelpunt van de ingeschreven cirkel. De straal daarvan is de oppervlakte gedeeld door de halve omtrek – 1,6330 bij de driehoek 5-6-7.

Hoe construeer je een bissectrice met passer en liniaal?

Trek vanuit het hoekpunt een boog die beide benen snijdt. Trek vanuit die twee snijpunten twee bogen met dezelfde straal die elkaar kruisen. De lijn van het hoekpunt door dat kruispunt is de bissectrice.

Bronnen en wettelijke basis

Bijgewerkt op: · Redactioneel beleid

Vergelijkbare tools