Bisettrice di un triangolo: calcolo online
Calcola la bisettrice di un triangolo partendo dai tre lati: ottieni la lunghezza delle tre bisettrici, gli angoli dimezzati e i due segmenti in cui ciascuna divide il lato opposto. Esempio: con i lati 5, 6 e 7 la bisettrice dell’angolo opposto al lato a misura 5,9822 e divide quel lato in 2,6923 e 2,3077.
Esempio: Lato a 5 · Lato b 6 · Lato c 7 → Risultato: Bisettrici: w_α = 5,9822 · w_β = 5,1235 · w_γ = 4,2251. Fonte: Weisstein, Eric W.: Angle Bisector. MathWorld – A Wolfram Web Resource (lunghezza della bisettrice in un triangolo). Aggiornato al: .
Come si calcola
Una bisettrice divide un angolo in due parti uguali. In un triangolo la bisettrice di ogni angolo va dal vertice al lato opposto, e il punto in cui lo incontra segue una regola semplice. Il calcolatore usa soltanto le lunghezze dei tre lati: non occorre conoscere alcun angolo.
Lunghezza di una bisettrice
Per la bisettrice dell’angolo α (opposto al lato a e compreso tra i lati b e c): w_α = √(b · c · [(b + c)² − a²]) ÷ (b + c). Lo stesso valore si ottiene con w_α = 2 · b · c · cos(α ÷ 2) ÷ (b + c). Per le altre due bisettrici si scambiano le lettere.
Teorema della bisettrice
La bisettrice divide il lato opposto nello stesso rapporto dei due lati adiacenti. La bisettrice di α divide il lato a in a · c ÷ (b + c), il segmento dalla parte di c, e a · b ÷ (b + c), il segmento dalla parte di b. Al lato adiacente più lungo corrisponde sempre il segmento più lungo.
Esempio svolto
Triangolo con a = 5, b = 6, c = 7. Angolo: cos α = (36 + 49 − 25) ÷ 84 = 0,7143, quindi α = 44,4153° e la sua metà 22,2077°. Lunghezza: w_α = √(6 × 7 × (169 − 25)) ÷ 13 = √6048 ÷ 13 = 5,9822. Divisione del lato a: 5 × 7 ÷ 13 = 2,6923 e 5 × 6 ÷ 13 = 2,3077; i due segmenti sommati danno 5 e stanno nel rapporto 7 : 6. Le altre due bisettrici misurano 5,1235 e 4,2251.
L’incentro
Le tre bisettrici si incontrano in un punto, l’incentro. È equidistante dai tre lati ed è il centro del cerchio inscritto. Il suo raggio è l’area divisa per il semiperimetro: qui 14,6969 ÷ 9 = 1,6330.
- In un triangolo equilatero bisettrice, mediana e altezza coincidono; ciascuna misura (√3 ÷ 2) volte il lato.
- In un triangolo isoscele questo vale solo per la bisettrice dell’angolo al vertice.
Domande frequenti
Come si calcola la lunghezza della bisettrice di un triangolo?
Con i tre lati: w_α = √(b · c · [(b + c)² − a²]) ÷ (b + c), dove a è il lato opposto all’angolo diviso. Per a = 5, b = 6, c = 7 il risultato è 5,9822.
Che cosa dice il teorema della bisettrice?
La bisettrice di un angolo divide il lato opposto nel rapporto dei due lati che formano l’angolo. Nel triangolo 5-6-7 il lato a = 5 viene diviso in 2,6923 e 2,3077, rapporto 7 : 6.
La bisettrice coincide con la mediana o con l’altezza?
Di solito no. La mediana arriva al punto medio del lato opposto, l’altezza lo incontra ad angolo retto, la bisettrice divide l’angolo a metà. Le tre coincidono solo nel triangolo equilatero o per l’angolo al vertice di un triangolo isoscele.
Dove si incontrano le tre bisettrici?
Nell’incentro, il centro del cerchio inscritto. Il suo raggio è l’area divisa per il semiperimetro: 1,6330 nel triangolo 5-6-7.
Come si costruisce una bisettrice con riga e compasso?
Traccia un arco con centro nel vertice che tagli entrambi i lati dell’angolo. Dai due punti di intersezione traccia due archi di uguale raggio che si incrocino. La retta dal vertice a quel punto di incrocio è la bisettrice.
Fonti e riferimenti normativi
- Weisstein, Eric W.: Angle Bisector. MathWorld – A Wolfram Web Resource (lunghezza della bisettrice in un triangolo)
- Weisstein, Eric W.: Angle Bisector Theorem. MathWorld – A Wolfram Web Resource (divisione del lato opposto nel rapporto dei lati adiacenti)
Aggiornato al: · Principi editoriali
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