Sucesión de Fibonacci
Calcula la sucesión de Fibonacci con exactitud: el n-ésimo número hasta F(20000), la lista de términos o si un número pertenece a ella. F(20) vale 6.765 y F(50) ya 12.586.269.025.
Ejemplo: ¿Qué quieres saber: n-ésimo número · Posición n 20 → Resultado: F(20) = 6765. Fuente: Wikipedia – Fibonacci-Folge (Definition, Binet-Formel, Identitäten, Zeckendorf-Satz). Actualizado: .
Cómo se calcula
Cada número de Fibonacci es la suma de los dos anteriores: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55… Formalmente, F(0) = 0, F(1) = 1 y F(n) = F(n−1) + F(n−2).
Cómo se calcula
Para n grandes, la calculadora usa las fórmulas de duplicación F(2k) = F(k) · (2·F(k+1) − F(k)) y F(2k+1) = F(k)² + F(k+1)². Funcionan con aritmética entera, sin error de redondeo, incluso con cientos de cifras. El cociente F(n+1) / F(n) se acerca a la razón áurea 1,6180339887….
Comprobar y descomponer
Un número x es de Fibonacci exactamente cuando 5x² + 4 o 5x² − 4 es un cuadrado perfecto. Según el teorema de Zeckendorf, todo entero positivo se escribe de forma única como suma de números de Fibonacci no consecutivos: 100 = 89 + 8 + 3.
- Uno de cada tres números de Fibonacci es par, uno de cada cuatro es divisible entre 3 y uno de cada cinco entre 5.
- La suma de F(0) a F(n) es F(n+2) − 1.
- Los números de Lucas empiezan con 2 y 1 y siguen la misma regla: 2, 1, 3, 4, 7, 11…
Preguntas frecuentes
¿Cuáles son los primeros números de Fibonacci?
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377… Cada número es la suma de los dos anteriores.
¿Cómo se calcula el n-ésimo número de Fibonacci?
Por recurrencia F(n) = F(n−1) + F(n−2) o más rápido con las fórmulas de duplicación. La calculadora da F(n) exacto hasta n = 20.000.
¿Qué relación tiene con la razón áurea?
El cociente de dos términos consecutivos se acerca a φ = 1,618…: 89 / 55 = 1,6182 y 233 / 144 = 1,6181.
Fuentes y base legal
- Wikipedia – Fibonacci-Folge (Definition, Binet-Formel, Identitäten, Zeckendorf-Satz)
- OEIS A000045 – Fibonacci numbers (valores y propiedades)
- Wikipedia – Fibonacci sequence (Fast doubling, recognizing Fibonacci numbers, Zeckendorf representation)
- Wikipedia – Lucas-Folge (L(n) = F(n−1) + F(n+1))
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