Fibonacci-Zahlen berechnen
Fibonacci-Zahlen berechnen Sie hier exakt: die n-te Zahl bis F(20000), die Folge als Liste oder die Prüfung, ob eine Zahl dazugehört. F(20) ist 6.765, F(50) schon 12.586.269.025.
Beispiel: Was möchten Sie wissen: n-te Fibonacci-Zahl · Index n 20 → Ergebnis: F(20) = 6.765. Quelle: Wikipedia – Fibonacci-Folge (Definition, Binet-Formel, Identitäten, Zeckendorf-Satz). Stand: .
So wird gerechnet
Jede Fibonacci-Zahl ist die Summe der beiden davor: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 … Formal gilt F(0) = 0, F(1) = 1 und F(n) = F(n−1) + F(n−2).
So wird gerechnet
Für große n nutzt der Rechner die Verdopplungsformeln F(2k) = F(k) · (2·F(k+1) − F(k)) und F(2k+1) = F(k)² + F(k+1)². Das geht mit ganzzahliger Arithmetik ohne Rundungsfehler, auch bei Hunderten von Ziffern. Der Quotient F(n+1) / F(n) nähert sich dem Goldenen Schnitt 1,6180339887….
Prüfen und zerlegen
Eine Zahl x ist genau dann eine Fibonacci-Zahl, wenn 5x² + 4 oder 5x² − 4 eine Quadratzahl ist. Nach dem Satz von Zeckendorf lässt sich jede natürliche Zahl eindeutig als Summe nicht benachbarter Fibonacci-Zahlen schreiben: 100 = 89 + 8 + 3.
- Jede dritte Fibonacci-Zahl ist gerade, jede vierte durch 3 teilbar, jede fünfte durch 5.
- Die Summe F(0) bis F(n) ergibt F(n+2) − 1.
- Lucas-Zahlen starten mit 2 und 1 und folgen derselben Regel: 2, 1, 3, 4, 7, 11 …
Häufige Fragen
Wie lauten die ersten Fibonacci-Zahlen?
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377 … Jede Zahl ist die Summe ihrer beiden Vorgänger.
Wie berechnet man die n-te Fibonacci-Zahl?
Per Rekursion F(n) = F(n−1) + F(n−2) oder schneller per Verdopplungsformel. Der Rechner liefert F(n) bis n = 20.000 exakt.
Was hat die Fibonacci-Folge mit dem Goldenen Schnitt zu tun?
Der Quotient zweier aufeinanderfolgender Zahlen nähert sich φ = 1,618…: 89 / 55 = 1,6182, 233 / 144 = 1,6181.
Quellen und Rechtsgrundlagen
- Wikipedia – Fibonacci-Folge (Definition, Binet-Formel, Identitäten, Zeckendorf-Satz)
- OEIS A000045 – Fibonacci numbers (Werte und Eigenschaften)
- Wikipedia – Fibonacci sequence (Fast doubling, recognizing Fibonacci numbers, Zeckendorf representation)
- Wikipedia – Lucas-Folge (L(n) = F(n−1) + F(n+1))
Stand: · So prüfen wir
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