Ciąg Fibonacciego
Ciąg Fibonacciego policzysz tu dokładnie: n-ty wyraz do F(20000), listę początkowych wyrazów albo sprawdzisz, czy liczba należy do ciągu. F(20) to 6765, a F(50) już 12 586 269 025.
Przykład: Co chcesz wiedzieć: n-ty wyraz ciągu · Numer n 20 → Wynik: F(20) = 6765. Źródło: Wikipedia – Fibonacci-Folge (Definition, Binet-Formel, Identitäten, Zeckendorf-Satz). Stan na: .
Jak to obliczamy
Każda liczba Fibonacciego jest sumą dwóch poprzednich: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55… Formalnie F(0) = 0, F(1) = 1 oraz F(n) = F(n−1) + F(n−2).
Jak to liczymy
Dla dużych n kalkulator używa wzorów na podwajanie F(2k) = F(k) · (2·F(k+1) − F(k)) i F(2k+1) = F(k)² + F(k+1)². Działają na liczbach całkowitych, bez błędów zaokrągleń, nawet przy setkach cyfr. Iloraz F(n+1) / F(n) zbliża się do złotej proporcji 1,6180339887….
Sprawdzanie i rozkład
Liczba x należy do ciągu dokładnie wtedy, gdy 5x² + 4 lub 5x² − 4 jest kwadratem liczby całkowitej. Według twierdzenia Zeckendorfa każdą dodatnią liczbę całkowitą można jednoznacznie zapisać jako sumę niesąsiednich liczb Fibonacciego: 100 = 89 + 8 + 3.
- Co trzecia liczba Fibonacciego jest parzysta, co czwarta podzielna przez 3, co piąta przez 5.
- Suma od F(0) do F(n) to F(n+2) − 1.
- Liczby Lucasa zaczynają się od 2 i 1 i mają tę samą regułę: 2, 1, 3, 4, 7, 11…
Najczęściej zadawane pytania
Jakie są pierwsze liczby Fibonacciego?
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377… Każda jest sumą dwóch poprzednich.
Jak obliczyć n-tą liczbę Fibonacciego?
Rekurencją F(n) = F(n−1) + F(n−2) albo szybciej wzorami na podwajanie. Kalkulator podaje F(n) dokładnie do n = 20 000.
Co ciąg Fibonacciego ma wspólnego ze złotą proporcją?
Iloraz dwóch kolejnych wyrazów zbliża się do φ = 1,618…: 89 / 55 = 1,6182, a 233 / 144 = 1,6181.
Źródła i podstawa prawna
- Wikipedia – Fibonacci-Folge (Definition, Binet-Formel, Identitäten, Zeckendorf-Satz)
- OEIS A000045 – Fibonacci numbers (wartości i właściwości)
- Wikipedia – Fibonacci sequence (Fast doubling, recognizing Fibonacci numbers, Zeckendorf representation)
- Wikipedia – Lucas-Folge (L(n) = F(n−1) + F(n+1))
Stan na: · Zasady redakcyjne
Podobne narzędzia
- Kalkulator ciągu liczbowegoKalkulator ciągu liczbowego: wpisz liczby, znajdź regułę (arytmetyczny, geometryczny, Fibonacciego, kwadratowy) i oblicz kolejne wyrazy, n-ty wyraz oraz sumę.
- Złoty podział: kalkulatorZłoty podział: podziel długość na część dłuższą i krótszą, wylicz pozostałe miary z jednej z nich i zaplanuj prostokąt złoty – z tokiem obliczeń.
- Trójkąt PascalaTrójkąt Pascala do wiersza 60: pokaż wiersz lub cały trójkąt, rozwiń (a+b)^n i (a−b)^n oraz sprawdź sumę, nieparzyste liczby i liczby Fibonacciego.
- Liczby pierwsze – lista, test i obliczeniaLiczby pierwsze: wypisz wszystkie do 10 milionów, sprawdź, czy liczba jest pierwsza, albo znajdź n-tą liczbę pierwszą – z bliźniaczymi, lukami i obliczeniami.
- Problem Collatza – kalkulatorProblem Collatza – kalkulator: kroki do 1, wartość maksymalna, kroki parzyste i nieparzyste, cały ciąg oraz rekordowe liczby startowe do wybranej granicy.
- Kalkulator systemów liczbowych z obliczeniamiKalkulator systemów liczbowych: zamiana między systemem dwójkowym, ósemkowym, dziesiętnym, szesnastkowym i bazą 2–36 – z obliczeniami, ułamkami i U2.
- Kalkulator onlineDarmowy kalkulator online: wpisz lub klikaj, a wynik pojawi się od razu – z kolejnością działań, nawiasami, procentami, pierwiastkiem i historią.
- Liczba słownieZamień liczbę na zapis słowny: liczba słownie do 999 miliardów z poprawną odmianą (tysiące, tysięcy), ułamki oraz kwota słownie w złotych i groszach na fakturę.
- Kalkulator pierwiastka sześciennegoPierwiastek sześcienny z dowolnej liczby, dodatniej lub ujemnej: wartość dziesiętna, postać uproszczona, obliczenia krok po kroku i sprawdzenie wyniku.