Numeri di Fibonacci
Calcola i numeri di Fibonacci con esattezza: l’n-esimo fino a F(20000), l’elenco dei primi termini o la verifica se un numero appartiene alla successione. F(20) vale 6.765 e F(50) già 12.586.269.025.
Esempio: Che cosa vuoi sapere: n-esimo numero · Posizione n 20 → Risultato: F(20) = 6765. Fonte: Wikipedia – Fibonacci-Folge (Definition, Binet-Formel, Identitäten, Zeckendorf-Satz). Aggiornato al: .
Come si calcola
Ogni numero di Fibonacci è la somma dei due precedenti: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55… Formalmente F(0) = 0, F(1) = 1 e F(n) = F(n−1) + F(n−2).
Come si calcola
Per n grandi il calcolatore usa le formule di raddoppio F(2k) = F(k) · (2·F(k+1) − F(k)) e F(2k+1) = F(k)² + F(k+1)². Funzionano con l’aritmetica intera, senza errori di arrotondamento, anche con centinaia di cifre. Il quoziente F(n+1) / F(n) tende alla sezione aurea 1,6180339887….
Verificare e scomporre
Un numero x è di Fibonacci esattamente quando 5x² + 4 o 5x² − 4 è un quadrato perfetto. Per il teorema di Zeckendorf ogni intero positivo si scrive in modo unico come somma di numeri di Fibonacci non consecutivi: 100 = 89 + 8 + 3.
- Un numero di Fibonacci ogni tre è pari, uno ogni quattro è divisibile per 3 e uno ogni cinque per 5.
- La somma da F(0) a F(n) è F(n+2) − 1.
- I numeri di Lucas iniziano con 2 e 1 e seguono la stessa regola: 2, 1, 3, 4, 7, 11…
Domande frequenti
Quali sono i primi numeri di Fibonacci?
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377… Ogni numero è la somma dei due precedenti.
Come si calcola l’n-esimo numero di Fibonacci?
Per ricorrenza F(n) = F(n−1) + F(n−2) o più in fretta con le formule di raddoppio. Il calcolatore dà F(n) esatto fino a n = 20.000.
Che legame c’è con la sezione aurea?
Il quoziente di due termini consecutivi tende a φ = 1,618…: 89 / 55 = 1,6182 e 233 / 144 = 1,6181.
Fonti e riferimenti normativi
- Wikipedia – Fibonacci-Folge (Definition, Binet-Formel, Identitäten, Zeckendorf-Satz)
- OEIS A000045 – Fibonacci numbers (valori e proprietà)
- Wikipedia – Fibonacci sequence (Fast doubling, recognizing Fibonacci numbers, Zeckendorf representation)
- Wikipedia – Lucas-Folge (L(n) = F(n−1) + F(n+1))
Aggiornato al: · Principi editoriali
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