Sequência de Fibonacci
Calcule a sequência de Fibonacci com exatidão: o enésimo número até F(20000), a lista de termos ou o teste se um número pertence a ela. F(20) vale 6.765 e F(50) já 12.586.269.025.
Exemplo: O que você quer saber: Enésimo número · Posição n 20 → Resultado: F(20) = 6.765. Fonte: Wikipedia – Fibonacci-Folge (Definition, Binet-Formel, Identitäten, Zeckendorf-Satz). Atualizado em: .
Como o cálculo é feito
Cada número de Fibonacci é a soma dos dois anteriores: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55… Formalmente, F(0) = 0, F(1) = 1 e F(n) = F(n−1) + F(n−2).
Como o cálculo é feito
Para n grandes, a calculadora usa as fórmulas de duplicação F(2k) = F(k) · (2·F(k+1) − F(k)) e F(2k+1) = F(k)² + F(k+1)². Elas funcionam com aritmética inteira, sem erro de arredondamento, mesmo com centenas de dígitos. O quociente F(n+1) / F(n) se aproxima da razão áurea 1,6180339887….
Testar e decompor
Um número x é de Fibonacci exatamente quando 5x² + 4 ou 5x² − 4 é um quadrado perfeito. Pelo teorema de Zeckendorf, todo inteiro positivo se escreve de modo único como soma de números de Fibonacci não consecutivos: 100 = 89 + 8 + 3.
- Um em cada três números de Fibonacci é par, um em cada quatro é divisível por 3 e um em cada cinco por 5.
- A soma de F(0) a F(n) é F(n+2) − 1.
- Os números de Lucas começam com 2 e 1 e seguem a mesma regra: 2, 1, 3, 4, 7, 11…
Perguntas frequentes
Quais são os primeiros números de Fibonacci?
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377… Cada número é a soma dos dois anteriores.
Como calcular o enésimo número de Fibonacci?
Por recorrência F(n) = F(n−1) + F(n−2) ou mais rápido com as fórmulas de duplicação. A calculadora dá F(n) exato até n = 20.000.
Qual a relação com a razão áurea?
O quociente de dois termos consecutivos se aproxima de φ = 1,618…: 89 / 55 = 1,6182 e 233 / 144 = 1,6181.
Fontes e base legal
- Wikipedia – Fibonacci-Folge (Definition, Binet-Formel, Identitäten, Zeckendorf-Satz)
- OEIS A000045 – Fibonacci numbers (valores e propriedades)
- Wikipedia – Fibonacci sequence (Fast doubling, recognizing Fibonacci numbers, Zeckendorf representation)
- Wikipedia – Lucas-Folge (L(n) = F(n−1) + F(n+1))
Última atualização: · Princípios editoriais
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