Résoudre une inéquation

Q: Quand le sens de l’inégalité change-t-il ?

Chaque fois que l’on multiplie ou divise les deux membres par un nombre négatif, par exemple dans −2x −3. Ajouter ou soustraire ne change jamais le sens.

Q: Comment écrire la solution sous forme d’intervalle ?

De gauche à droite avec des crochets : (−∞; 2) désigne tous les nombres inférieurs à 2, [3; ∞) tous les nombres à partir de 3 inclus. On relie plusieurs intervalles avec le signe de réunion ∪.

Cet outil permet de résoudre une inéquation du 1er degré, du 2e degré ou avec valeur absolue : choisissez le type, saisissez les nombres et lisez la solution en inégalité et en intervalle. Exemple : 2x + 3 ≤ 5x − 6 donne x ≥ 3, car le signe change quand on divise par −3.

Exemple : Type d’inéquation: Premier degré : a·x + b ⋚ c·x + d · Comparaison: inférieur ou égal (≤) · a (coefficient de x, à gauche) 2 · b (nombre, à gauche) 3 · c (coefficient de x, à droite) 5 · d (nombre, à droite) -6 → Résultat : Solution : x ≥ 3. Source : Wikipedia – Ungleichung (Äquivalenzumformungen). Mise à jour : 2 octobre 2026.

Type d’inéquation

Comparaison

a (coefficient de x, à gauche)

On cherche x dans a·x + b ⋚ c·x + d.

b (nombre, à gauche)

c (coefficient de x, à droite)

d (nombre, à droite)

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Résultat

Résultat: Solution : x ≥ 3
Ensemble des solutions: Donnée Valeur
Inéquation 2x + 3 ≤ 5x − 6
Solution en inégalité x ≥ 3
Solution en intervalle [3; ∞)
Détail du calcul: Tous les termes en x à gauche, tous les nombres à droite : -3·x ≤ -9.
Division par -3, un nombre négatif : le sens de l’inégalité s’inverse et devient ≥.
Solution : x ≥ 3
Vérification: Pour x = 3, « membre de gauche moins membre de droite » vaut 0 ; 0 ≤ 0 est vrai.
Pour x = -100, « membre de gauche moins membre de droite » vaut 309 ; 309 ≤ 0 est faux.; Quand on multiplie ou divise par un nombre négatif, le sens de l’inégalité s’inverse (≤ devient ≥). C’est l’erreur la plus fréquente.

Donnée	Valeur
Inéquation	2x + 3 ≤ 5x − 6
Solution en inégalité	x ≥ 3
Solution en intervalle	[3; ∞)

Comment le calcul est fait

Une inéquation se transforme comme une équation, avec une seule exception : multiplier ou diviser par un nombre négatif inverse le sens de l’inégalité. La solution n’est en général pas une valeur unique mais un ensemble de nombres, noté en inégalité (x ≥ 3) ou en intervalle ([3; ∞)).

Les trois types

Pour une inéquation du premier degré a·x + b ⋚ c·x + d, on regroupe les termes en x à gauche et les nombres à droite, puis on divise par (a − c). Pour une inéquation du second degré a·x² + b·x + c ⋚ 0, on cherche les racines avec le discriminant et on lit sur la parabole où elle est au-dessus ou en dessous de l’axe. Pour une inéquation avec valeur absolue |a·x + b| ⋚ c, on distingue deux cas : le terme est compris entre −c et c, ou en dehors.

Exemple avec changement de sens

2x + 3 ≤ 5x − 6 devient −3x ≤ −9. En divisant par −3, le sens s’inverse : x ≥ 3. La vérification avec x = 4 le confirme (11 ≤ 14), pas avec x = 0 (3 ≤ −6 est faux). L’outil affiche cette vérification sous le résultat.

Un crochet ouvert exclut la borne, un crochet fermé l’inclut.
Avec les signes stricts (< et >), la borne ne fait jamais partie de la solution.
Le résultat peut aussi être « tous les réels » ou « aucune solution », par exemple pour x² + 1 < 0.

Questions fréquentes

Quand le sens de l’inégalité change-t-il ?

Chaque fois que l’on multiplie ou divise les deux membres par un nombre négatif, par exemple dans −2x < 6, qui donne x > −3. Ajouter ou soustraire ne change jamais le sens.

Comment résoudre une inéquation du second degré ?

On cherche d’abord les racines de l’équation associée. Pour une parabole tournée vers le haut (a > 0), l’expression est négative entre les racines et positive à l’extérieur ; pour a < 0, c’est l’inverse.

Comment écrire la solution sous forme d’intervalle ?