Ungleichungen lösen

Q: Wann dreht sich das Ungleichheitszeichen um?

Immer dann, wenn beide Seiten mit einer negativen Zahl multipliziert oder durch sie geteilt werden, zum Beispiel bei −2x −3. Beim Addieren und Subtrahieren bleibt das Zeichen.

Q: Wie schreibt man die Lösung als Intervall?

Von links nach rechts mit Klammern: (−∞; 2) bedeutet alle Zahlen kleiner als 2, [3; ∞) alle Zahlen ab 3 einschließlich. Mehrere Bereiche verbindet man mit dem Vereinigungszeichen ∪.

Hier können Sie Ungleichungen lösen: Wählen Sie die Art, tragen Sie die Zahlen ein und lesen Sie die Lösungsmenge als Ungleichung und Intervall ab. Beispiel: 2x + 3 ≤ 5x − 6 ergibt x ≥ 3, weil das Zeichen beim Teilen durch −3 umgedreht wird.

Beispiel: Art der Ungleichung: Linear: a·x + b ⋚ c·x + d · Vergleichszeichen: kleiner gleich (≤) · a (Faktor von x, links) 2 · b (Zahl, links) 3 · c (Faktor von x, rechts) 5 · d (Zahl, rechts) -6 → Ergebnis: Lösung: x ≥ 3. Quelle: Wikipedia – Ungleichung (Äquivalenzumformungen). Stand: 2. Oktober 2026.

Art der Ungleichung

Vergleichszeichen

a (Faktor von x, links)

Gesucht ist x in a·x + b ⋚ c·x + d.

b (Zahl, links)

c (Faktor von x, rechts)

d (Zahl, rechts)

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Ergebnis

Ergebnis: Lösung: x ≥ 3
Lösungsmenge: Angabe Wert
Ungleichung 2x + 3 ≤ 5x − 6
Lösung als Ungleichung x ≥ 3
Lösung als Intervall [3; ∞)
Rechenweg: Alles mit x nach links, alle Zahlen nach rechts: -3·x ≤ -9.
Teilen durch -3, eine negative Zahl: Das Ungleichheitszeichen dreht sich um zu ≥.
Lösung: x ≥ 3
Probe: Für x = 3 ergibt „linke Seite minus rechte Seite“ den Wert 0; 0 ≤ 0 ist wahr.
Für x = -100 ergibt „linke Seite minus rechte Seite“ den Wert 309; 309 ≤ 0 ist falsch.; Wird durch eine negative Zahl geteilt oder mit ihr multipliziert, dreht sich das Ungleichheitszeichen um (aus ≤ wird ≥). Das ist die häufigste Fehlerquelle.

Angabe	Wert
Ungleichung	2x + 3 ≤ 5x − 6
Lösung als Ungleichung	x ≥ 3
Lösung als Intervall	[3; ∞)

So wird gerechnet

Eine Ungleichung wird wie eine Gleichung umgeformt, mit einer Ausnahme: Multiplikation oder Division mit einer negativen Zahl dreht das Vergleichszeichen um. Die Lösung ist meist kein einzelner Wert, sondern ein Bereich von Zahlen, den man als Ungleichung (x ≥ 3) oder als Intervall ([3; ∞)) angibt.

Die drei Arten

Bei der linearen Ungleichung a·x + b ⋚ c·x + d werden alle x-Terme nach links und alle Zahlen nach rechts gebracht und dann durch (a − c) geteilt. Bei der quadratischen Ungleichung a·x² + b·x + c ⋚ 0 bestimmt man die Nullstellen mit der Diskriminante und liest am Verlauf der Parabel ab, wo sie über oder unter der x-Achse liegt. Bei der Betragsungleichung |a·x + b| ⋚ c wird der Betrag in zwei Fälle zerlegt: Der Term liegt zwischen −c und c oder außerhalb davon.

Beispiel mit Vorzeichenwechsel

2x + 3 ≤ 5x − 6 wird zu −3x ≤ −9. Beim Teilen durch −3 dreht sich das Zeichen: x ≥ 3. Die Probe mit x = 4 bestätigt es (11 ≤ 14), mit x = 0 nicht (3 ≤ −6 ist falsch). Der Rechner zeigt diese Probe unter dem Ergebnis.

Runde Klammern im Intervall schließen den Randwert aus, eckige schließen ihn ein.
Bei „kleiner“ und „größer“ ohne Gleichheitszeichen gehört der Randwert nie zur Lösung.
Das Ergebnis kann auch „alle reellen Zahlen“ oder „keine Lösung“ lauten, etwa bei x² + 1 < 0.

Häufige Fragen

Wann dreht sich das Ungleichheitszeichen um?

Immer dann, wenn beide Seiten mit einer negativen Zahl multipliziert oder durch sie geteilt werden, zum Beispiel bei −2x < 6. Dann gilt x > −3. Beim Addieren und Subtrahieren bleibt das Zeichen.

Wie löst man quadratische Ungleichungen?

Zuerst die Nullstellen der zugehörigen Gleichung bestimmen. Bei einer nach oben geöffneten Parabel (a > 0) ist der Term zwischen den Nullstellen negativ und außerhalb positiv, bei a < 0 umgekehrt.

Wie schreibt man die Lösung als Intervall?