Calcolatore della distribuzione ipergeometrica
Questo calcolatore della distribuzione ipergeometrica richiede la dimensione della popolazione, i successi, la dimensione del campione e i successi cercati. Esempio: 10 vincenti su 50 biglietti, 5 estratti; esattamente 2 vincenti ha probabilità 0,20984.
Esempio: Dimensione della popolazione N 50 · Successi K nella popolazione 10 · Dimensione del campione n (senza reinserimento) 5 · Successi cercati k 2 → Risultato: P(X = 2) = 0,20984 (N = 50, K = 10, n = 5). Fonte: Wikipedia – Hypergeometric distribution. Aggiornato al: .
Come si calcola
La distribuzione ipergeometrica dà la probabilità di k successi quando si estrae da una popolazione finita senza reinserimento.
Formula
La popolazione ha N elementi, K dei quali successi. Se ne estraggono n senza reinserimento. Allora P(X = k) = C(K, k) · C(N − K, n − k) / C(N, n): si contano le estrazioni favorevoli (k successi su K, n − k insuccessi su N − K) e si divide per tutte quelle possibili. Il valore atteso è n · K / N e la varianza n · (K/N) · (1 − K/N) · (N − n)/(N − 1). L’ultimo fattore è la correzione per popolazione finita e riduce la varianza rispetto alla binomiale.
Esempio svolto
Un’urna contiene 50 biglietti, 10 dei quali vincenti. Se ne estraggono 5. Esattamente 2 vincenti: C(10, 2) = 45, C(40, 3) = 9880 e C(50, 5) = 2118760, quindi P = 45 · 9880 / 2118760 = 444600 / 2118760 = 0,20984. Al più 2 vincenti ha probabilità 0,95174, almeno 2 vincenti 0,2581. In media ci si aspetta 5 · 10 / 50 = 1 vincente e la varianza è 5 · 0,2 · 0,8 · 45/49 = 0,734694.
- Usi tipici: lotterie, controllo qualità a campione e giochi di carte.
- Senza reinserimento le estrazioni dipendono l’una dall’altra, perciò non è la binomiale.
- Sono possibili solo numeri di successi da max(0, n − (N − K)) a min(n, K).
Domande frequenti
Come si calcola la distribuzione ipergeometrica?
Con P(X = k) = C(K, k) · C(N − K, n − k) / C(N, n). Per N = 50, K = 10, n = 5 e k = 2 si ottiene 0,20984.
In cosa differisce dalla binomiale?
La binomiale vale con reinserimento, l’ipergeometrica senza. Se il campione è piccolo rispetto a N, le due sono vicine.
Come si calcola P(X ≥ k)?
Si sommano le probabilità singole da k fino al massimo valore possibile. Qui P(X ≥ 2) = 0,2581.
Fonti e riferimenti normativi
Aggiornato al: · Principi editoriali
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