Hypergeometrische Verteilung berechnen
Hier können Sie die hypergeometrische Verteilung berechnen: Geben Sie Gesamtzahl, Trefferzahl, Stichprobengröße und gesuchte Treffer ein. Beispiel: 10 Gewinne unter 50 Losen, 5 gezogen – genau 2 Gewinne haben die Wahrscheinlichkeit 0,20984.
Beispiel: Gesamtzahl N 50 · Treffer K in der Gesamtheit 10 · Stichprobengröße n (ohne Zurücklegen) 5 · Gesuchte Treffer k 2 → Ergebnis: P(X = 2) = 0,20984 (N = 50, K = 10, n = 5). Quelle: Wikipedia – Hypergeometric distribution. Stand: .
So wird gerechnet
Die hypergeometrische Verteilung gibt die Wahrscheinlichkeit für k Treffer an, wenn aus einer endlichen Gesamtheit ohne Zurücklegen gezogen wird.
Formel
In der Gesamtheit sind N Elemente, davon K Treffer. Gezogen werden n Elemente ohne Zurücklegen. Dann ist P(X = k) = C(K, k) · C(N − K, n − k) / C(N, n): Man zählt die günstigen Auswahlen (k Treffer aus K, n − k Nieten aus N − K) und teilt durch alle möglichen Auswahlen. Der Erwartungswert ist n · K / N, die Varianz n · (K/N) · (1 − K/N) · (N − n)/(N − 1). Der letzte Faktor ist die Endlichkeitskorrektur und macht die Varianz kleiner als bei der Binomialverteilung.
Durchgerechnetes Beispiel
Eine Lostrommel enthält 50 Lose, 10 davon sind Gewinne. Sie ziehen 5 Lose. Genau 2 Gewinne: C(10, 2) = 45, C(40, 3) = 9880 und C(50, 5) = 2118760, also P = 45 · 9880 / 2118760 = 444600 / 2118760 = 0,20984. Höchstens 2 Gewinne haben die Wahrscheinlichkeit 0,95174, mindestens 2 Gewinne 0,2581. Im Mittel erwartet man 5 · 10 / 50 = 1 Gewinn, die Varianz beträgt 5 · 0,2 · 0,8 · 45/49 = 0,734694.
- Typische Anwendungen sind Lotto, Qualitätskontrollen mit Stichproben und Kartenspiele.
- Ohne Zurücklegen hängen die Züge voneinander ab; deshalb ist es nicht die Binomialverteilung.
- Möglich sind nur Trefferzahlen von max(0, n − (N − K)) bis min(n, K).
Häufige Fragen
Wie berechnet man die hypergeometrische Verteilung?
Mit P(X = k) = C(K, k) · C(N − K, n − k) / C(N, n). Für N = 50, K = 10, n = 5 und k = 2 ergibt das 0,20984.
Was ist der Unterschied zur Binomialverteilung?
Die Binomialverteilung gilt beim Ziehen mit Zurücklegen, die hypergeometrische ohne. Ist die Stichprobe klein gegenüber N, liegen beide nahe beieinander.
Wie rechnet man P(X ≥ k)?
Man addiert die Einzelwahrscheinlichkeiten von k bis zum größtmöglichen Wert. Hier ergibt P(X ≥ 2) = 0,2581.
Quellen und Rechtsgrundlagen
Stand: · So prüfen wir
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