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超幾何分布の計算

超幾何分布の計算では、全体の数、当たりの数、抽出数、求める当たりの数を入力します。たとえば50枚のくじに当たりが10枚あり、5枚引いてちょうど2枚当たる確率は 0.20984 です。

計算例：全体の数 N 50 · 全体の中の当たりの数 K 10 · 抽出数 n（非復元） 5 · 求める当たりの数 k 2 → 結果：P(X = 2) = 0.20984（N = 50、K = 10、n = 5）。出典：Wikipedia – Hypergeometric distribution。更新日：

抽出した中で当たりが何個になる確率を求めるか。
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結果

結果
P(X = 2) = 0.20984（N = 50、K = 10、n = 5）
すべての値
項目値
ちょうど k：P(X = k)0.20984
k 以下：P(X ≤ k)0.95174
k 以上：P(X ≥ k)0.2581
期待値 n · K / N1
分散0.734694
標準偏差0.857143
起こりうる当たりの数0 – 5
計算手順
  • P(X = k) = C(K, k) × C(N − K, n − k) / C(N, n) = 45 × 9880 / 2118760 = 444600 / 2118760 = 0.20984。
  • 期待値 n × K / N = 5 × 10 / 50 = 1、分散 n × (K/N) × (1 − K/N) × (N − n)/(N − 1) = 0.734694。
超幾何分布は非復元抽出の分布です。復元抽出の場合や、N が n に比べて非常に大きい場合は二項分布で近似できます。

計算方法

超幾何分布は、有限の母集団から非復元抽出（引いたものを戻さない）したときに、当たりがk個になる確率を表します。

公式

母集団にN個の要素があり、そのうちK個が当たりです。ここからn個を非復元で取り出します。このとき P(X = k) = C(K, k) × C(N − K, n − k) / C(N, n) です。有利な選び方（K個からk個の当たり、N − K個からn − k個のはずれ）を数え、すべての選び方で割ります。期待値は n × K / N、分散は n × (K/N) × (1 − K/N) × (N − n)/(N − 1) で、最後の因子は有限母集団修正と呼ばれ、二項分布より分散を小さくします。

計算例

50枚のくじのうち10枚が当たりで、5枚引くとします。ちょうど2枚当たる確率は、C(10, 2) = 45、C(40, 3) = 9880、C(50, 5) = 2118760 より P = 45 × 9880 / 2118760 = 444600 / 2118760 = 0.20984 です。2枚以下は 0.95174、2枚以上は 0.2581 になります。平均では 5 × 10 / 50 = 1 枚の当たりが期待され、分散は 5 × 0.2 × 0.8 × 45/49 = 0.734694 です。

よくある質問

超幾何分布の確率はどう計算しますか。

P(X = k) = C(K, k) × C(N − K, n − k) / C(N, n) を使います。N = 50、K = 10、n = 5、k = 2 なら 0.20984 です。

二項分布とは何が違いますか。

二項分布は復元抽出、超幾何分布は非復元抽出の場合です。抽出数がNに比べて小さければ、両者は近い値になります。

P(X ≥ k) はどう求めますか。

k から取りうる最大値までの個々の確率を足します。この例では P(X ≥ 2) = 0.2581 です。

出典・根拠

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