Calcolatore della distribuzione esponenziale
Questo calcolatore della distribuzione esponenziale richiede il tasso λ e un limite x. Esempio: con un tempo medio di attesa di 2 minuti (λ = 0,5), P(X ≤ 3) = 0,77687.
Esempio: Tasso λ 0,5 · Limite x 3 · Si cerca: P(X ≤ x): evento entro x → Risultato: P(X ≤ 3) = 0,77687 (77,687%), λ = 0,5. Fonte: Wikipedia – Exponential distribution. Aggiornato al: .
Come si calcola
La distribuzione esponenziale descrive il tempo di attesa fino al prossimo evento quando gli eventi si verificano in modo indipendente con tasso costante λ, come chiamate, guasti o arrivi.
Formule
La densità è f(x) = λ · e^(−λx) per x ≥ 0. La funzione di ripartizione è F(x) = P(X ≤ x) = 1 − e^(−λx) e il complemento è P(X > x) = e^(−λx). Per un intervallo, P(a < X ≤ b) = e^(−λa) − e^(−λb). Media e deviazione standard valgono entrambe 1/λ, la varianza è 1/λ² e la mediana ln 2 / λ.
Esempio svolto
Un servizio clienti riceve in media una chiamata ogni 2 minuti, quindi λ = 0,5 al minuto. Quanto è probabile che la prossima chiamata arrivi entro 3 minuti? e^(−1,5) = 0,22313, perciò P(X ≤ 3) = 1 − 0,22313 = 0,77687, cioè 77,687%. La densità in x = 3 è 0,5 · 0,22313 = 0,111565. La mediana è ln 2 / 0,5 = 1,38629 minuti, sotto la media 2, perché la distribuzione è asimmetrica a destra.
- La distribuzione è senza memoria: P(X > s + t | X > s) = P(X > t).
- Se λ è un tasso per unità di tempo, x e λ devono usare la stessa unità.
- Contando gli eventi in un periodo fisso si ottiene la distribuzione di Poisson con lo stesso λ.
Domande frequenti
Come si calcola la distribuzione esponenziale?
Con F(x) = 1 − e^(−λx). Per λ = 0,5 e x = 3 si ottiene 1 − e^(−1,5) = 0,77687.
Che differenza c’è tra tasso λ e media?
La media è 1/λ. Se un evento arriva in media ogni 2 minuti, il tasso è λ = 0,5 al minuto.
Perché la mediana è sotto la media?
La distribuzione è molto asimmetrica a destra: poche attese lunghissime alzano la media, mentre la mediana ln 2 / λ ≈ 0,693 / λ resta più piccola.
Fonti e riferimenti normativi
Aggiornato al: · Principi editoriali
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