Exponentialverteilung berechnen
Hier können Sie die Exponentialverteilung berechnen: Geben Sie die Rate λ und eine Grenze x ein. Beispiel: Bei einer mittleren Wartezeit von 2 Minuten (λ = 0,5) ist P(X ≤ 3) = 0,77687.
Beispiel: Rate λ 0,5 · Grenze x 3 · Gesucht ist: P(X ≤ x): Ereignis bis x → Ergebnis: P(X ≤ 3) = 0,77687 (77,687 %), λ = 0,5. Quelle: Wikipedia – Exponential distribution. Stand: .
So wird gerechnet
Die Exponentialverteilung beschreibt die Wartezeit bis zum nächsten Ereignis, wenn Ereignisse unabhängig und mit konstanter Rate λ eintreten, etwa Anrufe, Ausfälle oder Ankünfte.
Formeln
Die Dichte ist f(x) = λ · e^(−λx) für x ≥ 0. Die Verteilungsfunktion ist F(x) = P(X ≤ x) = 1 − e^(−λx), die Gegenwahrscheinlichkeit P(X > x) = e^(−λx). Für ein Intervall gilt P(a < X ≤ b) = e^(−λa) − e^(−λb). Erwartungswert und Standardabweichung sind beide 1/λ, die Varianz ist 1/λ² und der Median ln 2 / λ.
Durchgerechnetes Beispiel
Eine Hotline nimmt im Mittel alle 2 Minuten einen Anruf entgegen, also ist λ = 0,5 pro Minute. Wie wahrscheinlich ist es, dass der nächste Anruf innerhalb von 3 Minuten eingeht? Es ist e^(−1,5) = 0,22313, also P(X ≤ 3) = 1 − 0,22313 = 0,77687, das sind 77,687 %. Die Dichte bei x = 3 beträgt 0,5 · 0,22313 = 0,111565. Der Median liegt bei ln 2 / 0,5 = 1,38629 Minuten und damit unter dem Mittelwert 2, weil die Verteilung rechtsschief ist.
- Die Verteilung ist gedächtnislos: P(X > s + t | X > s) = P(X > t).
- Mit λ als Rate pro Zeiteinheit müssen x und λ dieselbe Zeiteinheit verwenden.
- Zählt man die Ereignisse in einem Zeitraum, ergibt sich die Poisson-Verteilung mit demselben λ.
Häufige Fragen
Wie berechnet man die Exponentialverteilung?
Mit F(x) = 1 − e^(−λx). Für λ = 0,5 und x = 3 ist das 1 − e^(−1,5) = 0,77687.
Was ist der Unterschied zwischen Rate λ und Mittelwert?
Der Mittelwert ist 1/λ. Kommt im Schnitt alle 2 Minuten ein Ereignis, ist die Rate λ = 0,5 pro Minute.
Warum liegt der Median unter dem Mittelwert?
Die Verteilung ist stark rechtsschief: Wenige sehr lange Wartezeiten ziehen den Mittelwert nach oben, der Median ln 2 / λ ≈ 0,693 / λ bleibt kleiner.
Quellen und Rechtsgrundlagen
Stand: · So prüfen wir
Passende Werkzeuge
- Poisson-Verteilung-RechnerPoisson-Verteilung-Rechner: Wahrscheinlichkeit für genau, höchstens, mindestens oder zwischen k Ereignissen bei Rate λ – mit Rechenweg und Wertetabelle.
- Normalverteilung-RechnerNormalverteilung-Rechner: Wahrscheinlichkeit für höchstens, mindestens oder zwischen zwei Werten, z-Wert und Quantil – mit Rechenweg und 68-95-99,7-Regel.
- Binomialverteilung-RechnerBinomialverteilung-Rechner: P(X = k), höchstens, mindestens und zwischen aus n und p, mit Erwartungswert, Standardabweichung und Tabelle. Kostenlos, ohne Login.
- Wahrscheinlichkeit berechnenWahrscheinlichkeit berechnen: Laplace, zwei Ereignisse, mehrfache Versuche (Binomial) und Ziehen ohne Zurücklegen wie beim Lotto – mit Rechenweg.
- Weibull-Verteilung berechnenWeibull-Verteilung berechnen: Form k, Skala λ und x eingeben – Ausfallwahrscheinlichkeit, Dichte, Zuverlässigkeit, Ausfallrate, Mittelwert und B10.
- Geometrische Verteilung berechnenGeometrische Verteilung berechnen für die Zahl der Versuche bis zum ersten Erfolg: P(X = k), P(X ≤ k), Erwartungswert und Varianz, mit Rechenweg.
- Taschenrechner onlineKostenloser Online-Taschenrechner: tippen oder klicken, Ergebnis sofort – mit Punkt-vor-Strich, Klammern, Prozent, Wurzel, Rechenweg und Verlauf.
- NPSH berechnen: NPSHA der Anlage und Reserve zum NPSHR der PumpeNPSH berechnen für Kreiselpumpen: NPSHA aus Behälterdruck, Dampfdruck, Flüssigkeitsspiegel und Saugleitungsverlust, Vergleich mit dem NPSHR der Pumpe.
- Lagerlebensdauer berechnen: nominelle Lebensdauer L10 und L10hLagerlebensdauer berechnen: nominelle Lebensdauer L10 in Millionen Umdrehungen und L10h in Stunden aus Tragzahl C, Belastung P und Drehzahl, mit Beiwert a1.