指数分布の計算
指数分布の計算では、率λと境界xを入力します。たとえば平均待ち時間が2分（λ = 0.5）のとき、P(X ≤ 3) = 0.77687 です。
計算例：率 λ 0.5 · 境界 x 3 · 求める確率: P(X ≤ x)：x までに起こる → 結果：P(X ≤ 3) = 0.77687（77.687%）、λ = 0.5。出典：Wikipedia – Exponential distribution。更新日：
計算方法
指数分布は、出来事が互いに独立に一定の率λで起こるとき、次の出来事までの待ち時間を表す分布です。電話の着信、故障、到着などに使われます。
公式
確率密度は x ≥ 0 で f(x) = λ × e^(−λx) です。分布関数は F(x) = P(X ≤ x) = 1 − e^(−λx)、余事象は P(X > x) = e^(−λx) です。区間では P(a < X ≤ b) = e^(−λa) − e^(−λb) となります。期待値と標準偏差はどちらも 1/λ、分散は 1/λ²、中央値は ln 2 / λ です。
計算例
ホットラインに平均2分に1回電話がかかってくるとすると、λ = 0.5（毎分）です。次の電話が3分以内に来る確率は、e^(−1.5) = 0.22313 なので P(X ≤ 3) = 1 − 0.22313 = 0.77687、つまり77.687%です。x = 3 での確率密度は 0.5 × 0.22313 = 0.111565 です。中央値は ln 2 / 0.5 = 1.38629 分で、右に裾が長い分布のため平均の2より小さくなります。
- 無記憶性：P(X > s + t | X > s) = P(X > t) が成り立ちます。
- λ を単位時間あたりの率とするときは、x と λ で同じ時間単位を使ってください。
- 一定期間の発生回数を数えると、同じ λ のポアソン分布になります。
よくある質問
指数分布の確率はどう計算しますか。
F(x) = 1 − e^(−λx) を使います。λ = 0.5、x = 3 なら 1 − e^(−1.5) = 0.77687 です。
率λと平均はどう違いますか。
平均は 1/λ です。平均2分に1回の出来事なら、率は毎分 λ = 0.5 です。
なぜ中央値は平均より小さいのですか。
右に大きく裾が伸びた分布で、まれな非常に長い待ち時間が平均を押し上げます。中央値 ln 2 / λ ≈ 0.693 / λ はそれより小さくなります。
出典・根拠
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