Binomialverteilung-Rechner
Mit dem Binomialverteilung-Rechner bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit für genau, höchstens oder mindestens k Treffer bei n Versuchen und erhalten Erwartungswert, Standardabweichung und die Verteilungstabelle.
Beispiel: Gesucht ist: höchstens k Treffer: P(X ≤ k) · Anzahl der Versuche n 10 · Trefferwahrscheinlichkeit p 0,5 · Anzahl der Treffer k 3 → Wahrscheinlichkeit: P(X ≤ 3) = 0,171875 (17,19 %). Quelle: NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods – Binomial Distribution. Stand: .
So wird gerechnet
Bei 10 Münzwürfen ist die Wahrscheinlichkeit für höchstens 3 Mal Kopf 17,19 %. Die Binomialverteilung beschreibt, wie oft ein Ereignis mit der Wahrscheinlichkeit p bei n unabhängigen Versuchen eintritt.
So wird gerechnet
Für genau k Treffer gilt P(X = k) = C(n, k) · pk · (1 − p)n − k. Bei „höchstens“, „mindestens“ und „zwischen“ addiert der Rechner die passenden Einzelwahrscheinlichkeiten direkt auf, ohne Umweg über 1 − P. Dadurch bleiben auch sehr kleine Wahrscheinlichkeiten genau. Erwartungswert und Varianz sind μ = n · p und σ² = n · p · (1 − p).
Gut zu wissen
- Voraussetzung: Jeder Versuch hat nur Treffer oder Niete, p bleibt gleich, und die Versuche beeinflussen sich nicht (Ziehen mit Zurücklegen).
- Ohne Zurücklegen aus einer kleinen Menge ist die hypergeometrische Verteilung richtig; bei großer Menge ist die Binomialverteilung eine gute Näherung.
- Bei großem n und mittlerem p ähnelt die Verteilung einer Normalverteilung mit μ = n · p und σ = √(n · p · (1 − p)).
- Die Tabelle zeigt P(X = k), kumuliert P(X ≤ k) und P(X ≥ k), wie sie in Schulbüchern als Tabellenwerk vorkommen.
Häufige Fragen
Wie berechnet man die Binomialverteilung?
Mit P(X = k) = C(n, k) · p^k · (1 − p)^(n − k). Dabei ist C(n, k) der Binomialkoeffizient „n über k“. Für Bereiche werden die Einzelwahrscheinlichkeiten addiert.
Was bedeutet höchstens und mindestens bei der Binomialverteilung?
Höchstens k heißt 0 bis k Treffer, P(X ≤ k). Mindestens k heißt k bis n Treffer, P(X ≥ k). Mehr als k bedeutet P(X > k) = P(X ≥ k + 1).
Wie groß sind Erwartungswert und Standardabweichung?
Der Erwartungswert ist μ = n · p, die Standardabweichung σ = √(n · p · (1 − p)). Bei 100 Versuchen mit p = 0,3 ist μ = 30 und σ ≈ 4,58.
Wann darf man die Binomialverteilung verwenden?
Wenn es n gleiche, voneinander unabhängige Versuche mit jeweils nur zwei Ausgängen gibt und die Trefferwahrscheinlichkeit p immer gleich bleibt, etwa bei Münzwurf, Würfel (Sechs oder nicht) oder Ziehen mit Zurücklegen.
Quellen und Rechtsgrundlagen
- NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods – Binomial Distribution
- Wikipedia – Binomialverteilung (Wahrscheinlichkeitsfunktion, Erwartungswert, Varianz, Modus)
- W. H. Press u. a.: Numerical Recipes – Gammafunktion (Lanczos-Näherung)
Stand: · So prüfen wir
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