Distribuzione binomiale: calcolatore
Questo distribuzione binomiale calcolatore dà la probabilità di ottenere esattamente, al più o almeno k successi in n prove, con media, deviazione standard e la tabella completa.
Esempio: Si cerca: al più k successi: P(X ≤ k) · Numero di prove n 10 · Probabilità di successo p 0,5 · Numero di successi k 3 → Probabilità: P(X ≤ 3) = 0,171875 (17,19%). Fonte: NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods – Binomial Distribution. Aggiornato al: .
Come si calcola
In 10 lanci di una moneta, la probabilità di ottenere al più 3 teste è del 17,19 %. La distribuzione binomiale descrive quante volte si verifica un evento di probabilità p in n prove indipendenti.
Come si calcola
Per esattamente k successi, P(X = k) = C(n, k) · pk · (1 − p)n − k. Per «al più», «almeno» e «tra», il calcolatore somma direttamente le probabilità interessate invece di passare da 1 − P, così anche le probabilità molto piccole restano precise. Media e varianza sono μ = n · p e σ² = n · p · (1 − p).
Utile sapere
- Condizioni: ogni prova ha solo successo o insuccesso, p resta costante e le prove sono indipendenti (estrazione con reinserimento).
- Per estrazioni senza reinserimento da una popolazione piccola serve la distribuzione ipergeometrica; per una popolazione grande la binomiale è una buona approssimazione.
- Con n grande e p intermedio la forma somiglia a una normale di media n · p e deviazione √(n · p · (1 − p)).
- La tabella riporta P(X = k) e le cumulate P(X ≤ k) e P(X ≥ k), come le tavole dei libri di testo.
Domande frequenti
Come si calcola la distribuzione binomiale?
Con P(X = k) = C(n, k) · p^k · (1 − p)^(n − k), dove C(n, k) è il coefficiente binomiale «n su k». Per gli intervalli si sommano le probabilità.
Che cosa significano «al più» e «almeno»?
Al più k significa da 0 a k successi, P(X ≤ k). Almeno k significa da k a n successi, P(X ≥ k). Più di k significa P(X > k) = P(X ≥ k + 1).
Quali sono la media e la deviazione standard?
La media è μ = n · p e la deviazione standard σ = √(n · p · (1 − p)). Con 100 prove e p = 0,3, μ = 30 e σ ≈ 4,58.
Quando si può usare la distribuzione binomiale?
Quando ci sono n prove uguali e indipendenti con soli due esiti e probabilità di successo p costante, come una moneta, un dado (sei o no) o estrazioni con reinserimento.
Fonti e riferimenti normativi
- NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods – Binomial Distribution
- Wikipedia – Binomialverteilung (Wahrscheinlichkeitsfunktion, Erwartungswert, Varianz, Modus)
- W. H. Press u. a.: Numerical Recipes – Gammafunktion (Lanczos-Näherung)
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