Rozkład dwumianowy – kalkulator

Ten rozkład dwumianowy kalkulator podaje prawdopodobieństwo dokładnie, co najwyżej lub co najmniej k sukcesów w n próbach oraz wartość oczekiwaną, odchylenie standardowe i pełną tabelę.

Przykład: Szukamy: co najwyżej k sukcesów: P(X ≤ k) · Liczba prób n 10 · Prawdopodobieństwo sukcesu p 0,5 · Liczba sukcesów k 3 → Prawdopodobieństwo: P(X ≤ 3) = 0,171875 (17,19%). Źródło: NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods – Binomial Distribution. Stan na: 2 października 2026.

Szukamy

Liczba prób n

liczba całkowita od 1 do 100 000

Prawdopodobieństwo sukcesu p

od 0 do 1, np. 0,25 dla 25 %

Liczba sukcesów k

Moje narzędziaWpisane dane są zapisywane tylko w tej przeglądarce.

Wynik

Prawdopodobieństwo: P(X ≤ 3) = 0,171875 (17,19%)
Najważniejsze wartości: Wartość oczekiwana μ = n · p = 5
Wariancja σ² = n · p · (1 − p) = 2,5
Odchylenie standardowe σ = 1,5811
Najbardziej prawdopodobna wartość (dominanta): 5
Średnio zdarza się to w około 1 na 6 serii prób.
Tabela rozkładu: k P(X = k) P(X ≤ k) P(X ≥ k)
0 0,00097656 0,00097656 1
1 0,0097656 0,010742 0,99902
2 0,043945 0,054687 0,98926
3 0,11719 0,17187 0,94531
4 0,20508 0,37695 0,82813
5 0,24609 0,62305 0,62305
6 0,20508 0,82813 0,37695
7 0,11719 0,94531 0,17187
8 0,043945 0,98926 0,054687
9 0,0097656 0,99902 0,010742
10 0,00097656 1 0,00097656

k	P(X = k)	P(X ≤ k)	P(X ≥ k)
0	0,00097656	0,00097656	1
1	0,0097656	0,010742	0,99902
2	0,043945	0,054687	0,98926
3	0,11719	0,17187	0,94531
4	0,20508	0,37695	0,82813
5	0,24609	0,62305	0,62305
6	0,20508	0,82813	0,37695
7	0,11719	0,94531	0,17187
8	0,043945	0,98926	0,054687
9	0,0097656	0,99902	0,010742
10	0,00097656	1	0,00097656

Jak to obliczamy

Przy 10 rzutach monetą prawdopodobieństwo co najwyżej 3 orłów wynosi 17,19 %. Rozkład dwumianowy opisuje, ile razy zdarzenie o prawdopodobieństwie p zajdzie w n niezależnych próbach.

Jak to liczymy

Dla dokładnie k sukcesów P(X = k) = C(n, k) · p^k · (1 − p)^{n − k}. Przy „co najwyżej”, „co najmniej” i „od … do” kalkulator dodaje odpowiednie prawdopodobieństwa wprost, bez drogi okrężnej przez 1 − P, więc nawet bardzo małe wartości są dokładne. Wartość oczekiwana i wariancja to μ = n · p oraz σ² = n · p · (1 − p).

Warto wiedzieć

Założenia: każda próba ma tylko sukces lub porażkę, p się nie zmienia, a próby są niezależne (losowanie ze zwracaniem).
Przy losowaniu bez zwracania z małej populacji potrzebny jest rozkład hipergeometryczny; przy dużej populacji dwumianowy jest dobrym przybliżeniem.
Dla dużego n i średniego p kształt przypomina rozkład normalny o μ = n · p i σ = √(n · p · (1 − p)).
Tabela podaje P(X = k) oraz skumulowane P(X ≤ k) i P(X ≥ k), jak w tablicach z podręczników.

Najczęściej zadawane pytania

Jak obliczyć rozkład dwumianowy?

Wzorem P(X = k) = C(n, k) · p^k · (1 − p)^(n − k), gdzie C(n, k) to symbol Newtona „n po k”. Dla przedziałów dodaje się prawdopodobieństwa.

Co znaczy co najwyżej i co najmniej?

Co najwyżej k to od 0 do k sukcesów, P(X ≤ k). Co najmniej k to od k do n sukcesów, P(X ≥ k). Więcej niż k to P(X > k) = P(X ≥ k + 1).

Ile wynoszą wartość oczekiwana i odchylenie standardowe?

Wartość oczekiwana to μ = n · p, odchylenie σ = √(n · p · (1 − p)). Dla 100 prób i p = 0,3 mamy μ = 30 oraz σ ≈ 4,58.

Kiedy można użyć rozkładu dwumianowego?

Gdy jest n jednakowych, niezależnych prób z dwoma wynikami i stałym prawdopodobieństwem sukcesu p, np. rzut monetą, kostką (szóstka albo nie) lub losowanie ze zwracaniem.

Źródła i podstawa prawna

Stan na: 2 października 2026 · Zasady redakcyjne