二項分布の計算
この二項分布の計算ツールは、n 回の試行で成功がちょうど・以下・以上 k 回になる確率を求め、期待値・標準偏差・分布表もあわせて表示します。
計算例：求めたい確率: k 回以下：P(X ≤ k) · 試行回数 n 10 · 成功確率 p 0.5 · 成功回数 k 3 → 確率：P(X ≤ 3) = 0.171875 (17.19%)。出典：NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods – Binomial Distribution。更新日：
計算方法
コインを10回投げて表が3回以下になる確率は17.19 %です。二項分布は、確率 p の事象が n 回の独立な試行で何回起こるかを表します。
計算のしくみ
ちょうど k 回の確率は P(X = k) = C(n, k) · pk · (1 − p)n − k です。「以下」「以上」「範囲」では、1 − P を経由せず該当する確率を直接足し合わせるため、とても小さい確率も正確に求まります。期待値と分散は μ = n · p、σ² = n · p · (1 − p) です。
知っておくと便利
- 前提：各試行の結果は成功か失敗の2通りで、p は一定、試行どうしは独立（復元抽出）です。
- 小さな母集団からの非復元抽出には超幾何分布が適切で、母集団が大きければ二項分布で近似できます。
- n が大きく p が極端でないとき、分布は平均 n · p、標準偏差 √(n · p · (1 − p)) の正規分布に近づきます。
- 表には P(X = k) のほか、累積の P(X ≤ k) と P(X ≥ k) も載せています。教科書の分布表と同じ見方ができます。
よくある質問
二項分布の確率はどう計算しますか？
P(X = k) = C(n, k) · p^k · (1 − p)^(n − k) で計算します。C(n, k) は二項係数（n 個から k 個を選ぶ組み合わせ）です。範囲の場合は各確率を足します。
「以下」と「以上」の違いは？
k 回以下は 0〜k 回で P(X ≤ k)、k 回以上は k〜n 回で P(X ≥ k) です。k 回より多いは P(X > k) = P(X ≥ k + 1) です。
期待値と標準偏差は？
期待値は μ = n · p、標準偏差は σ = √(n · p · (1 − p)) です。試行100回・p = 0.3 なら μ = 30、σ ≈ 4.58 です。
二項分布が使える条件は？
同じ条件の独立な試行を n 回行い、結果が2通りのみで、成功確率 p が一定のときです。コイン投げ、サイコロ（6が出るか否か）、復元抽出などが当てはまります。
出典・根拠
- NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods – Binomial Distribution
- Wikipedia – Binomialverteilung (Wahrscheinlichkeitsfunktion, Erwartungswert, Varianz, Modus)
- W. H. Press u. a.: Numerical Recipes – Gammafunktion (Lanczos-Näherung)
更新日： · 編集方針
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