Distribuição binomial: calculadora

Esta distribuição binomial calculadora dá a probabilidade de obter exatamente, no máximo ou pelo menos k sucessos em n tentativas, com média, desvio padrão e a tabela completa.

Exemplo: Quero saber: no máximo k sucessos: P(X ≤ k) · Número de tentativas n 10 · Probabilidade de sucesso p 0,5 · Número de sucessos k 3 → Probabilidade: P(X ≤ 3) = 0,171875 (17,19%). Fonte: NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods – Binomial Distribution. Atualizado em: 2 de outubro de 2026.

Quero saber

Número de tentativas n

número inteiro de 1 a 100.000

Probabilidade de sucesso p

entre 0 e 1, por exemplo 0,25 para 25 %

Número de sucessos k

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Resultado

Probabilidade: P(X ≤ 3) = 0,171875 (17,19%)
Valores principais: Média μ = n · p = 5
Variância σ² = n · p · (1 − p) = 2,5
Desvio padrão σ = 1,5811
Valor mais provável (moda): 5
Em média, isso acontece em cerca de 1 de cada 6 séries de tentativas.
Tabela da distribuição: k P(X = k) P(X ≤ k) P(X ≥ k)
0 0,00097656 0,00097656 1
1 0,0097656 0,010742 0,99902
2 0,043945 0,054687 0,98926
3 0,11719 0,17187 0,94531
4 0,20508 0,37695 0,82813
5 0,24609 0,62305 0,62305
6 0,20508 0,82813 0,37695
7 0,11719 0,94531 0,17187
8 0,043945 0,98926 0,054687
9 0,0097656 0,99902 0,010742
10 0,00097656 1 0,00097656

k	P(X = k)	P(X ≤ k)	P(X ≥ k)
0	0,00097656	0,00097656	1
1	0,0097656	0,010742	0,99902
2	0,043945	0,054687	0,98926
3	0,11719	0,17187	0,94531
4	0,20508	0,37695	0,82813
5	0,24609	0,62305	0,62305
6	0,20508	0,82813	0,37695
7	0,11719	0,94531	0,17187
8	0,043945	0,98926	0,054687
9	0,0097656	0,99902	0,010742
10	0,00097656	1	0,00097656

Como o cálculo é feito

Em 10 lançamentos de uma moeda, a chance de dar no máximo 3 caras é de 17,19 %. A distribuição binomial descreve quantas vezes um evento de probabilidade p ocorre em n tentativas independentes.

Como se calcula

Para exatamente k sucessos, P(X = k) = C(n, k) · p^k · (1 − p)^{n − k}. Em “no máximo”, “pelo menos” e “entre”, a calculadora soma diretamente as probabilidades correspondentes em vez de usar 1 − P, e assim até probabilidades muito pequenas saem com precisão. Média e variância são μ = n · p e σ² = n · p · (1 − p).

Bom saber

Condições: cada tentativa tem só sucesso ou fracasso, p permanece o mesmo e as tentativas são independentes (retirada com reposição).
Retirada sem reposição de uma população pequena pede a distribuição hipergeométrica; numa população grande a binomial é uma boa aproximação.
Com n grande e p intermediário, a forma lembra uma normal de média n · p e desvio √(n · p · (1 − p)).
A tabela traz P(X = k) e as acumuladas P(X ≤ k) e P(X ≥ k), como nas tabelas dos livros didáticos.

Perguntas frequentes

Como calcular a distribuição binomial?

Com P(X = k) = C(n, k) · p^k · (1 − p)^(n − k), em que C(n, k) é o coeficiente binomial “n escolhe k”. Para intervalos, somam-se as probabilidades.

O que significam “no máximo” e “pelo menos”?

No máximo k é de 0 a k sucessos, P(X ≤ k). Pelo menos k é de k a n sucessos, P(X ≥ k). Mais de k é P(X > k) = P(X ≥ k + 1).

Quais são a média e o desvio padrão?

A média é μ = n · p e o desvio padrão σ = √(n · p · (1 − p)). Com 100 tentativas e p = 0,3, μ = 30 e σ ≈ 4,58.

Quando posso usar a distribuição binomial?

Quando há n tentativas iguais e independentes com apenas dois resultados e probabilidade de sucesso p constante, como moeda, dado (seis ou não) ou retirada com reposição.

Fontes e base legal

Última atualização: 2 de outubro de 2026 · Princípios editoriais