Scomposizione di polinomi
La scomposizione di polinomi si fa scrivendo l’espressione: 2x³ + 2x² − 12x diventa 2x(x + 3)(x − 2), con radici 0, −3 e 2. Vengono mostrati tutti i passaggi e la verifica.
Fonte: Wikipedia – Faktorisierung (Polynome). Aggiornato al: .
Come si calcola
Scomporre significa scrivere un polinomio come prodotto di fattori più semplici. Il prodotto 2x(x + 3)(x − 2), sviluppato, dà 2x³ + 2x² − 12x. Dalla forma scomposta si leggono direttamente le radici, perché un prodotto è 0 quando lo è uno dei fattori.
Come procede lo strumento
Prima raccoglie il massimo comune divisore dei coefficienti e le potenze minime della variabile. Poi cerca radici razionali p/q: secondo il teorema delle radici razionali, p divide il termine noto e q il coefficiente direttivo. Ogni radice trovata dà un fattore lineare (q·x − p), per cui si divide il polinomio, finché non restano radici. Nell’esempio rimane x² + x − 6 = (x + 3)(x − 2) oltre al fattore 2x.
Limiti
Lo strumento scompone nei numeri razionali. Un resto come x² + 1 non ha radici reali e resta com’è. Dal grado 4 in poi, un resto senza radici razionali può comunque scomporsi in fattori quadratici, ad esempio x⁴ + 4 = (x² + 2x + 2)(x² − 2x + 2); lo strumento non lo rileva.
- È ammessa una sola variabile; esponenti da 0 a 20.
- I prodotti notevoli come x² − 9 o x² + 6x + 9 sono coperti dalle radici.
- La verifica sviluppa di nuovo i fattori e confronta con quanto hai inserito.
Domande frequenti
Come si scompone un polinomio?
Si raccoglie il fattore comune, poi si cercano le radici e per ogni radice x₀ si separa il fattore (x − x₀). x² − 5x + 6 ha radici 2 e 3, quindi (x − 2)(x − 3).
Come trovo le radici razionali?
Si provano i divisori del termine noto divisi per i divisori del coefficiente direttivo. In 2x² − 3x + 1 le radici sono 1 e 1/2, cioè (x − 1)(2x − 1).
Che cosa significa un resto che non si scompone oltre?
Non ha radici razionali. In x² + 1 non esiste alcuna radice reale, quindi la scomposizione resta (x² + 1).
Fonti e riferimenti normativi
- Wikipedia – Faktorisierung (Polynome)
- Wikipedia – Satz über rationale Nullstellen (teorema delle radici razionali)
- Wikipedia – Factorization of polynomials
Aggiornato al: · Principi editoriali
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