NL

Polynoom ontbinden in factoren

Een polynoom ontbinden in factoren doe je door het in te voeren: 2x³ + 2x² − 12x wordt 2x(x + 3)(x − 2), met nulpunten 0, −3 en 2. Alle stappen en de controle worden getoond.

Bron: Wikipedia – Faktorisierung (Polynome). Bijgewerkt: .

in één variabele, bijvoorbeeld 2x^3+2x^2-12x of x^2-5x+6
Mijn toolboxJe invoer wordt alleen in deze browser opgeslagen.

Resultaat

Ontbonden
2x(x + 3)(x − 2)
Rationale nulpunten
x = 0 · x = −3 · x = 2
Tussenstappen
  • Gemeenschappelijke factor 2 buiten haakjes halen
  • x buiten haakjes halen
  • Nulpunt x = −3 gevonden: lineaire factor (x + 3), in totaal 1-voudig
  • Nulpunt x = 2 gevonden: lineaire factor (x − 2), in totaal 1-voudig
Controle
Controle: uitwerken geeft weer 2x³ + 2x² − 12x.

Zo wordt het berekend

Ontbinden in factoren betekent een polynoom schrijven als product van eenvoudigere factoren. Het product 2x(x + 3)(x − 2) geeft uitgewerkt 2x³ + 2x² − 12x. Uit de ontbonden vorm lees je de nulpunten direct af, want een product is 0 als een factor 0 is.

Zo gaat de rekenmachine te werk

Eerst haalt ze de grootste gemeenschappelijke deler van de coëfficiënten en de laagste machten van de variabele buiten haakjes. Daarna zoekt ze rationale nulpunten p/q: volgens de rationale-nulpuntenstelling deelt p de constante term en q de kopcoëfficiënt. Elk gevonden nulpunt levert een lineaire factor (q·x − p) op waardoor het polynoom wordt gedeeld, tot er geen nulpunten meer zijn. In het voorbeeld blijft x² + x − 6 = (x + 3)(x − 2) over naast de factor 2x.

Grenzen

De rekenmachine ontbindt over de rationale getallen. Een rest zoals x² + 1 heeft geen reëel nulpunt en blijft staan. Vanaf graad 4 kan een rest zonder rationaal nulpunt toch nog in kwadratische factoren uiteenvallen, bijvoorbeeld x⁴ + 4 = (x² + 2x + 2)(x² − 2x + 2); dat herkent ze niet.

Veelgestelde vragen

Hoe ontbind je een polynoom in factoren?

Haal gemeenschappelijke factoren buiten haakjes, zoek dan de nulpunten en splits voor elk nulpunt x₀ de factor (x − x₀) af. x² − 5x + 6 heeft de nulpunten 2 en 3, dus (x − 2)(x − 3).

Hoe vind ik rationale nulpunten?

Probeer delers van de constante term gedeeld door delers van de kopcoëfficiënt. Bij 2x² − 3x + 1 zijn de nulpunten 1 en 1/2, dus (x − 1)(2x − 1).

Wat betekent een rest die niet verder wordt ontbonden?

Hij heeft geen rationaal nulpunt. Bij x² + 1 is er helemaal geen reëel nulpunt, de ontbinding blijft dus (x² + 1).

Bronnen en wettelijke basis

Bijgewerkt op: · Redactioneel beleid

Vergelijkbare tools