Rozkład wielomianu na czynniki
Rozkład wielomianu na czynniki zrobisz, wpisując wyrażenie: 2x³ + 2x² − 12x zamieni się w 2x(x + 3)(x − 2), z pierwiastkami 0, −3 i 2. Zobaczysz wszystkie kroki i sprawdzenie.
Źródło: Wikipedia – Faktorisierung (Polynome). Stan na: .
Jak to obliczamy
Rozkład na czynniki to zapisanie wielomianu w postaci iloczynu prostszych czynników. Iloczyn 2x(x + 3)(x − 2) po wymnożeniu daje 2x³ + 2x² − 12x. Z postaci iloczynowej od razu odczytasz pierwiastki, bo iloczyn jest równy 0, gdy któryś czynnik jest równy 0.
Jak działa kalkulator
Najpierw wyłącza największy wspólny dzielnik współczynników i najniższe potęgi zmiennej. Potem szuka pierwiastków wymiernych p/q: według twierdzenia o pierwiastkach wymiernych p dzieli wyraz wolny, a q współczynnik przy najwyższej potędze. Każdy znaleziony pierwiastek daje czynnik liniowy (q·x − p), przez który dzieli się wielomian, aż pierwiastki się skończą. W przykładzie zostaje x² + x − 6 = (x + 3)(x − 2) oraz czynnik 2x.
Ograniczenia
Kalkulator rozkłada w zbiorze liczb wymiernych. Reszta taka jak x² + 1 nie ma pierwiastka rzeczywistego i pozostaje bez zmian. Od stopnia 4 reszta bez pierwiastka wymiernego może mimo to rozkładać się na czynniki kwadratowe, np. x⁴ + 4 = (x² + 2x + 2)(x² − 2x + 2); tego kalkulator nie wykrywa.
- Dozwolona jest dokładnie jedna zmienna; wykładniki od 0 do 20.
- Wzory skróconego mnożenia, jak x² − 9 lub x² + 6x + 9, są ujęte przez pierwiastki.
- Sprawdzenie ponownie wymnaża czynniki i porównuje z Twoimi danymi.
Najczęściej zadawane pytania
Jak rozłożyć wielomian na czynniki?
Wyłączyć wspólny czynnik, potem znaleźć pierwiastki i dla każdego pierwiastka x₀ wydzielić czynnik (x − x₀). x² − 5x + 6 ma pierwiastki 2 i 3, więc (x − 2)(x − 3).
Jak znaleźć pierwiastki wymierne?
Sprawdzić dzielniki wyrazu wolnego podzielone przez dzielniki współczynnika przy najwyższej potędze. Dla 2x² − 3x + 1 pierwiastkami są 1 i 1/2, czyli (x − 1)(2x − 1).
Co oznacza reszta, której nie da się dalej rozłożyć?
Nie ma pierwiastka wymiernego. Dla x² + 1 nie ma żadnego pierwiastka rzeczywistego, więc rozkład pozostaje (x² + 1).
Źródła i podstawa prawna
- Wikipedia – Faktorisierung (Polynome)
- Wikipedia – Satz über rationale Nullstellen (twierdzenie o pierwiastkach wymiernych)
- Wikipedia – Factorization of polynomials
Stan na: · Zasady redakcyjne
Podobne narzędzia
- Wymnażanie nawiasówWymnażanie nawiasów online: rozwiń nawiasy i potęgi, rozpoznaj wzory skróconego mnożenia i zobacz każdy krok, także z wieloma zmiennymi.
- Dzielenie wielomianów kalkulatorDzielenie wielomianów kalkulator z obliczeniami: iloraz i reszta, sprawdzenie, schemat Hornera oraz wszystkie pierwiastki z rozkładem na czynniki, w ułamkach.
- Równanie kwadratowe – kalkulatorRozwiąż równanie kwadratowe ax² + bx + c = 0: delta, pierwiastki, dokładna postać, wierzchołek paraboli, postać iloczynowa i rozwiązania zespolone.
- Równanie trzeciego stopniaRozwiąż równanie trzeciego stopnia ax³ + bx² + cx + d = 0: pierwiastki rzeczywiste i zespolone, z wyróżnikiem, czynnikami liniowymi i sprawdzeniem.
- Rozkład na czynniki pierwszeRozkład na czynniki pierwsze dowolnej liczby do biliona, krok po kroku, ze sprawdzeniem, czy to liczba pierwsza, oraz liczbą i sumą wszystkich dzielników.
- Kalkulator NWD i NWWKalkulator NWD i NWW dla dwóch lub więcej liczb: największy wspólny dzielnik, najmniejsza wspólna wielokrotność, rozkład na czynniki i algorytm Euklidesa.
- Kalkulator onlineDarmowy kalkulator online: wpisz lub klikaj, a wynik pojawi się od razu – z kolejnością działań, nawiasami, procentami, pierwiastkiem i historią.
- Uzupełnianie do kwadratu kalkulatorUzupełnianie do kwadratu kalkulator: zamienia ax² + bx + c na postać a(x + p)² + q z wierzchołkiem, miejscami zerowymi i opisem każdego kroku obliczeń.
- Hex na dec (i dec na hex): konwerterHex na dec: pomnóż każdą cyfrę przez potęgę 16, np. FF = 255. Wpisz liczbę hex i zobacz dec, zapis dwójkowy i ósemkowy albo zamień dec na hex – z rachunkiem.