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Fatorar polinômios

Para fatorar polinômios, digite a expressão: 2x³ + 2x² − 12x vira 2x(x + 3)(x − 2), com raízes 0, −3 e 2. Todos os passos e a verificação são mostrados.

Fonte: Wikipedia – Faktorisierung (Polynome). Atualizado em: .

em uma variável, por exemplo 2x^3+2x^2-12x ou x^2-5x+6
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Resultado

Fatorado
2x(x + 3)(x − 2)
Raízes racionais
x = 0 · x = −3 · x = 2
Passo a passo
  • Colocar o fator comum 2 em evidência
  • Colocar x em evidência
  • Raiz x = −3 encontrada: fator linear (x + 3), multiplicidade 1 no total
  • Raiz x = 2 encontrada: fator linear (x − 2), multiplicidade 1 no total
Verificação
Verificação: ao desenvolver, obtém-se de novo 2x³ + 2x² − 12x.

Como o cálculo é feito

Fatorar é escrever um polinômio como produto de fatores mais simples. O produto 2x(x + 3)(x − 2) resulta, ao desenvolver, em 2x³ + 2x² − 12x. Da forma fatorada leem-se diretamente as raízes, porque um produto é 0 quando um dos fatores é 0.

Como a calculadora procede

Primeiro coloca em evidência o máximo divisor comum dos coeficientes e as menores potências da variável. Depois procura raízes racionais p/q: pelo teorema das raízes racionais, p divide o termo independente e q divide o coeficiente principal. Cada raiz encontrada dá um fator linear (q·x − p), pelo qual o polinômio é dividido, até não restarem raízes. No exemplo, sobra x² + x − 6 = (x + 3)(x − 2) além do fator 2x.

Limites

A calculadora fatora sobre os números racionais. Um resto como x² + 1 não tem raiz real e permanece como está. A partir do grau 4, um resto sem raiz racional ainda pode se decompor em fatores quadráticos, por exemplo x⁴ + 4 = (x² + 2x + 2)(x² − 2x + 2); ela não detecta isso.

Perguntas frequentes

Como fatorar um polinômio?

Coloca-se o fator comum em evidência, depois procuram-se as raízes e, para cada raiz x₀, separa-se o fator (x − x₀). x² − 5x + 6 tem raízes 2 e 3, logo (x − 2)(x − 3).

Como achar raízes racionais?

Testam-se os divisores do termo independente divididos pelos divisores do coeficiente principal. Em 2x² − 3x + 1 as raízes são 1 e 1/2, ou seja, (x − 1)(2x − 1).

O que significa um resto que não é fatorado mais?

Ele não tem raiz racional. Em x² + 1 não há raiz real alguma, então a fatoração fica (x² + 1).

Fontes e base legal

Última atualização: · Princípios editoriais

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