Équation du troisième degré
Cet outil résout une équation du troisième degré dès que vous saisissez a, b, c et d. Pour x³ − 6x² + 11x − 6 = 0, il donne les trois racines x₁ = 1, x₂ = 2 et x₃ = 3.
Exemple : a (devant x³) 1 · b (devant x²) -6 · c (devant x) 11 · d (constante) -6 → Solutions : x₁ = 1 · x₂ = 2 · x₃ = 3. Source : Wikipedia – Cardanische Formeln. Mise à jour : .
Comment le calcul est fait
Toute équation du troisième degré ax³ + bx² + cx + d = 0 a trois solutions si l’on admet les nombres complexes : soit trois réelles, soit une réelle et deux complexes conjuguées. L’outil les détermine toutes, les affiche sous forme de nombre ou de a + bi et vérifie chacune par substitution.
Principe du calcul
On divise d’abord par a, puis le changement x = y − b/(3a) supprime le terme du second degré et donne la forme réduite y³ + p·y + q = 0. Son discriminant Δ = −4p³ − 27q² tranche : si Δ > 0, trois racines réelles distinctes, obtenues par trigonométrie ; si Δ < 0, une réelle et deux complexes selon la méthode de Cardan ; si Δ = 0, des racines multiples. Les valeurs réelles sont ensuite affinées par la méthode de Newton.
Facteurs et vérification
Avec les solutions, le polynôme s’écrit a(x − x₁)(x − x₂)(x − x₃). Avec des solutions complexes, il reste un facteur du second degré à coefficients réels. La colonne « Vérification » donne la valeur absolue de f(x) en la solution, de l’ordre de 10⁻¹⁴ ou moins.
- Exemple avec des racines complexes : x³ + x + 2 = 0 a pour solutions x₁ = −1 et x₂,₃ = 0,5 ± 1,3229i.
- Avec a = 0, l’équation ne serait que du second degré ; l’outil vous le signale.
- Les racines rationnelles se trouvent souvent plus vite en testant les diviseurs de d, puis par division polynomiale.
Questions fréquentes
Comment résoudre une équation du troisième degré ?
On devine une racine puis on se ramène à une équation du second degré par division polynomiale, ou l’on applique les formules de Cardan. L’outil suit la seconde voie et donne les trois solutions.
Que dit le discriminant d’une équation du troisième degré ?
Δ > 0 : trois racines réelles distinctes. Δ = 0 : une racine multiple. Δ < 0 : une racine réelle et deux complexes.
Combien de solutions a x³ − 6x² + 11x − 6 = 0 ?
Trois réelles : 1, 2 et 3. L’équation s’écrit (x − 1)(x − 2)(x − 3) = 0.
Sources et références juridiques
- Wikipedia – Cardanische Formeln
- Wikipedia – Cubic equation
- Wikipedia – Diskriminante (Polynom dritten Grades)
Dernière mise à jour : · Principes éditoriaux
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