Faktorisieren-Rechner
Der Faktorisieren-Rechner zerlegt ein Polynom in Faktoren: Aus 2x³ + 2x² − 12x wird 2x(x + 3)(x − 2) mit den Nullstellen 0, −3 und 2. Alle Schritte und die Probe werden angezeigt.
Quelle: Wikipedia – Faktorisierung (Polynome). Stand: .
So wird gerechnet
Faktorisieren heißt, ein Polynom als Produkt einfacherer Faktoren zu schreiben. Das Produkt 2x(x + 3)(x − 2) ergibt ausmultipliziert 2x³ + 2x² − 12x. Aus der Faktorform lassen sich die Nullstellen direkt ablesen, denn ein Produkt ist 0, wenn ein Faktor 0 ist.
So geht der Rechner vor
Zuerst klammert er den größten gemeinsamen Faktor der Koeffizienten und niedrigste Potenzen der Variablen aus. Dann sucht er rationale Nullstellen p/q: Nach dem Satz über rationale Nullstellen ist p ein Teiler des Absolutglieds und q ein Teiler des höchsten Koeffizienten. Jede gefundene Nullstelle liefert einen Linearfaktor (q·x − p), durch den das Polynom geteilt wird, bis keine Nullstelle mehr übrig ist. Beim Beispiel bleiben x² + x − 6 = (x + 3)(x − 2) und der Faktor 2x.
Grenzen
Der Rechner zerlegt über den rationalen Zahlen. Ein Rest wie x² + 1 hat keine reelle Nullstelle und bleibt stehen. Bei Grad 4 oder höher kann ein Rest ohne rationale Nullstelle trotzdem in quadratische Faktoren zerfallen, etwa x⁴ + 4 = (x² + 2x + 2)(x² − 2x + 2); das erkennt er nicht.
- Erlaubt ist genau eine Variable; Exponenten von 0 bis 20.
- Binomische Formeln wie x² − 9 oder x² + 6x + 9 werden über die Nullstellen mit erfasst.
- Die Probe multipliziert die Faktoren wieder aus und vergleicht mit Ihrer Eingabe.
Häufige Fragen
Wie faktorisiert man ein Polynom?
Gemeinsame Faktoren ausklammern, dann Nullstellen suchen und für jede Nullstelle x₀ den Linearfaktor (x − x₀) abspalten. x² − 5x + 6 hat die Nullstellen 2 und 3, also (x − 2)(x − 3).
Wie finde ich rationale Nullstellen?
Teiler des Absolutglieds geteilt durch Teiler des höchsten Koeffizienten ausprobieren. Bei 2x² − 3x + 1 sind 1 und 1/2 die Nullstellen, also (x − 1)(2x − 1).
Was bedeutet ein Rest, der nicht weiter zerlegt wird?
Er hat keine rationale Nullstelle. Bei x² + 1 gibt es gar keine reelle Nullstelle, die Zerlegung bleibt dann (x² + 1).
Quellen und Rechtsgrundlagen
- Wikipedia – Faktorisierung (Polynome)
- Wikipedia – Satz über rationale Nullstellen
- Wikipedia – Factorization of polynomials
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