Résoudre une équation bicarrée
Ce solveur résout une équation bicarrée ax⁴ + bx² + c = 0 par le changement de variable X = x², et plus généralement toute équation du quatrième degré ax⁴ + bx³ + cx² + dx + e = 0 à coefficients réels : les quatre racines, réelles et complexes, avec leur multiplicité, et le discriminant Δ.
Exemple : a (coefficient de x⁴, non nul) 1 · b (coefficient de x³ ; 0 pour une bicarrée) -10 · c (coefficient de x²) 35 · d (coefficient de x ; 0 pour une bicarrée) -50 · e (terme constant) 24 → Racines réelles : Racines réelles : x = 1; 2; 3; 4. Source : Wikipedia, Quartic function – Nature of the roots: discriminant Δ, P = 8ac − 3b², D = 64a³e − 16a²c² + 16ab²c − 16a²bd − 3b⁴; Δ < 0 two real and two complex roots, Δ > 0 with P < 0 and D < 0 four distinct real roots, otherwise two complex pairs; biquadratic case (read 15.10.2026). Mise à jour : .
Comment le calcul est fait
Une équation bicarrée ax⁴ + bx² + c = 0 se ramène au second degré avec X = x² : on résout aX² + bX + c = 0, puis chaque solution X ≥ 0 donne x = ±√X. Exemple : x⁴ − 5x² + 4 = 0 devient X² − 5X + 4 = 0, avec X = 1 et X = 4, donc x = ±1 et x = ±2. Dans le solveur, les coefficients de la bicarrée se saisissent en a, c et e, avec b = d = 0.
Exemples
| a | b | c | d | e | Racines réelles |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | −10 | 35 | −50 | 24 | 1 ; 2 ; 3 ; 4 |
| 1 | 0 | −5 | 0 | 4 | −2 ; −1 ; 1 ; 2 |
| 1 | 0 | 1 | 0 | −6 | −1,4142 ; 1,4142 |
| 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | aucune |
La troisième, x⁴ + x² − 6 = 0, est bicarrée : X = 2 donne x = ±√2 ≈ ±1,4142, et X = −3 donne la paire complexe ±1,7321i. La dernière a quatre racines complexes ±0,7071 ± 0,7071i. La première n’est pas bicarrée : x⁴ − 10x³ + 35x² − 50x + 24 = (x − 1)(x − 2)(x − 3)(x − 4), de racines 1, 2, 3 et 4 et de discriminant Δ = 144.
Nombre de solutions d’une équation bicarrée
- Deux solutions X positives : quatre racines réelles.
- Une solution X positive et une négative : deux racines réelles et deux complexes.
- Deux solutions X négatives, ou X complexes : aucune racine réelle.
- X = 0 : x = 0 est racine double.
Ce que dit le discriminant
- Δ < 0 : deux racines réelles et deux complexes.
- Δ > 0 avec P < 0 et D < 0 : quatre racines réelles distinctes.
- Δ > 0 avec P > 0 ou D > 0 : aucune racine réelle, deux paires complexes.
- Δ = 0 : une racine se répète, comme dans (x − 1)⁴ = x⁴ − 4x³ + 6x² − 4x + 1.
L’étape intermédiaire est une équation du second degré ; avec un degré de moins, utilisez le solveur d’équation du troisième degré.
Questions fréquentes
Comment résoudre une équation bicarrée ?
On pose X = x² et on résout aX² + bX + c = 0 ; chaque solution X ≥ 0 donne x = ±√X. Pour x⁴ − 5x² + 4 = 0 : X = 1 ou 4, donc x = ±1 et ±2.
Combien de solutions a une équation bicarrée ?
Quatre dans les complexes, en comptant la multiplicité. Dans les réels, en général 4, 2 ou 0 selon le signe des solutions X ; si X = 0 est solution, x = 0 est racine double (x⁴ − x² = 0 a ainsi les racines 0, −1 et 1).
Une équation bicarrée peut-elle avoir des solutions complexes ?
Oui : une solution X négative donne deux racines imaginaires. x⁴ + x² − 6 = 0 a X = −3, donc x = ±√3 i ≈ ±1,7321i.
Et une équation du quatrième degré qui n’est pas bicarrée ?
La méthode de Ferrari la ramène à une cubique et deux équations du second degré ; ici les racines sont calculées numériquement. x⁴ − 10x³ + 35x² − 50x + 24 = 0 a pour racines 1, 2, 3 et 4.
Les coefficients décimaux sont-ils acceptés ?
Oui, tout nombre réel avec a ≠ 0. Les racines sont affichées avec 8 chiffres significatifs.
Sources et références juridiques
Dernière mise à jour : · Principes éditoriaux
Outils similaires
- Équation du troisième degréRésolution d’une équation du troisième degré ax³ + bx² + cx + d = 0 : racines réelles et complexes, discriminant, facteurs et vérification.
- Résoudre une équation du second degréRésoudre une équation du second degré ax² + bx + c = 0 : discriminant delta, solutions exactes, sommet, forme factorisée et racines complexes, avec étapes.
- Résoudre une équation en ligneRésoudre une équation avec les étapes : équations du premier, du second degré et plus, avec parenthèses, fractions et vérification. Gratuit et sans inscription.
- Division polynomiale calculatriceDivision polynomiale calculatrice avec étapes : quotient et reste, vérification, schéma de Horner et toutes les racines avec factorisation, en fractions.
- Calculatrice nombres complexesCalculatrice nombres complexes : addition, soustraction, multiplication, division, puissance et racines, avec forme polaire, forme exponentielle et module.
- Traceur de courbe en ligneTracez jusqu’à trois fonctions en ligne, zoomez et déplacez la vue, calculez zéros, maximums et minimums, enregistrez la courbe en PNG ou SVG. Gratuit.
- Calculatrice en ligneCalculatrice en ligne gratuite : tapez ou cliquez, le résultat s’affiche aussitôt – priorités, parenthèses, pourcentage, racine, étapes et historique.
- Planning devoirs à imprimer : créez-le en quelques secondesPlanning devoirs à imprimer : saisissez vos matières, choisissez grille de la semaine ou liste de tâches et enregistrez l’image pour A4 paysage. Gratuit.
- Calculateur pour compléter le carréCalculateur compléter le carré : transforme ax² + bx + c en forme canonique a(x + p)² + q avec sommet, racines et chaque étape du calcul détaillée.