Equazione di terzo grado
Questo strumento risolve un’equazione di terzo grado appena inserisci i coefficienti a, b, c e d. Per x³ − 6x² + 11x − 6 = 0 ottieni le tre soluzioni x₁ = 1, x₂ = 2 e x₃ = 3.
Esempio: a (di x³) 1 · b (di x²) -6 · c (di x) 11 · d (termine noto) -6 → Soluzioni: x₁ = 1 · x₂ = 2 · x₃ = 3. Fonte: Wikipedia – Cardanische Formeln. Aggiornato al: .
Come si calcola
Ogni equazione di terzo grado ax³ + bx² + cx + d = 0 ha tre soluzioni se si ammettono i numeri complessi: o tre reali, o una reale e due complesse coniugate. Lo strumento le trova tutte, le mostra come numero o nella forma a + bi e verifica ciascuna per sostituzione.
Come si calcola
Prima si divide per a, poi la sostituzione x = y − b/(3a) elimina il termine di secondo grado e lascia la forma ridotta y³ + p·y + q = 0. Il suo discriminante Δ = −4p³ − 27q² decide il caso: con Δ > 0 ci sono tre radici reali distinte, ottenute per via trigonometrica; con Δ < 0 una reale e due complesse secondo la formula di Cardano; con Δ = 0 radici multiple. I valori reali vengono poi affinati con il metodo di Newton.
Fattori lineari e verifica
Con le soluzioni il polinomio si scrive a(x − x₁)(x − x₂)(x − x₃). Con soluzioni complesse resta un fattore di secondo grado reale. La colonna «Verifica» mostra il modulo di f(x) nella soluzione, intorno a 10⁻¹⁴ o meno.
- Esempio con radici complesse: x³ + x + 2 = 0 ha x₁ = −1 e x₂,₃ = 0,5 ± 1,3229i.
- Con a = 0 l’equazione sarebbe solo di secondo grado; lo strumento te lo segnala.
- Le radici razionali si trovano spesso prima provando i divisori di d e dividendo il polinomio.
Domande frequenti
Come si risolve un’equazione di terzo grado?
O si individua una radice per tentativi e ci si riporta a una quadratica con la divisione di polinomi, oppure si usano le formule di Cardano. Lo strumento segue la seconda via e dà le tre soluzioni.
Che cosa dice il discriminante di un’equazione cubica?
Δ > 0: tre radici reali distinte. Δ = 0: una radice multipla. Δ < 0: una radice reale e due complesse.
Quante soluzioni ha x³ − 6x² + 11x − 6 = 0?
Tre reali: 1, 2 e 3. L’equazione si scrive (x − 1)(x − 2)(x − 3) = 0.
Fonti e riferimenti normativi
- Wikipedia – Cardanische Formeln
- Wikipedia – Cubic equation
- Wikipedia – Diskriminante (Polynom dritten Grades)
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