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Kubische Gleichung lösen

Eine kubische Gleichung lösen Sie hier durch Eingabe der Koeffizienten a, b, c und d. Für x³ − 6x² + 11x − 6 = 0 liefert der Rechner die drei Lösungen x₁ = 1, x₂ = 2 und x₃ = 3.

Beispiel: a (vor x³) 1 · b (vor x²) -6 · c (vor x) 11 · d (Konstante) -6 → Lösungen: x₁ = 1 · x₂ = 2 · x₃ = 3. Quelle: Wikipedia – Cardanische Formeln. Stand: .

darf nicht 0 sein
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Ergebnis

Lösungen
x₁ = 1 · x₂ = 2 · x₃ = 3
Lösungen mit Probe
LösungWertProbe |f(x)|
x₁10
x₂20
x₃30
Rechenwerte
AngabeWert
Art der Lösungendrei verschiedene reelle Lösungen (Δ > 0)
Diskriminante Δ4
Reduzierte Formy³ + p·y + q = 0 mit p = −1 und q = 0; x = y − b/(3a)
Linearfaktoren(x − 1) · (x − 2) · (x − 3)

So wird gerechnet

Jede kubische Gleichung ax³ + bx² + cx + d = 0 hat drei Lösungen, wenn man komplexe Zahlen zulässt: entweder drei reelle oder eine reelle und zwei komplex konjugierte. Der Rechner bestimmt alle drei, zeigt sie als Zahl oder in der Form a + bi und prüft jede durch Einsetzen.

So wird gerechnet

Zuerst wird durch a geteilt und mit x = y − b/(3a) die quadratische Stufe entfernt. Es entsteht die reduzierte Form y³ + p·y + q = 0. Ihre Diskriminante Δ = −4p³ − 27q² entscheidet: Bei Δ > 0 gibt es drei verschiedene reelle Lösungen, die trigonometrisch bestimmt werden, bei Δ < 0 eine reelle und zwei komplexe nach der Cardanischen Formel, bei Δ = 0 mehrfache Lösungen. Reelle Werte werden anschließend mit dem Newton-Verfahren nachgeschärft.

Linearfaktoren und Probe

Mit den Lösungen lässt sich das Polynom als a(x − x₁)(x − x₂)(x − x₃) schreiben. Bei komplexen Lösungen bleibt ein reeller quadratischer Faktor stehen. Die Spalte „Probe“ zeigt den Betrag von f(x) an der Lösung, er liegt bei etwa 10⁻¹⁴ oder darunter.

Häufige Fragen

Wie löst man eine Gleichung dritten Grades?

Entweder eine Lösung erraten und per Polynomdivision auf eine quadratische Gleichung zurückführen oder die Cardanischen Formeln verwenden. Der Rechner nimmt den zweiten Weg und liefert alle drei Lösungen.

Was sagt die Diskriminante bei einer kubischen Gleichung?

Δ > 0: drei verschiedene reelle Lösungen. Δ = 0: eine mehrfache Lösung. Δ < 0: eine reelle und zwei komplexe Lösungen.

Wie viele Lösungen hat x³ − 6x² + 11x − 6 = 0?

Drei reelle: 1, 2 und 3. Die Gleichung lässt sich als (x − 1)(x − 2)(x − 3) = 0 schreiben.

Quellen und Rechtsgrundlagen

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