Równanie trzeciego stopnia
Równanie trzeciego stopnia rozwiążesz tutaj po wpisaniu współczynników a, b, c i d. Dla x³ − 6x² + 11x − 6 = 0 kalkulator poda trzy rozwiązania: x₁ = 1, x₂ = 2 i x₃ = 3.
Przykład: a (przy x³) 1 · b (przy x²) -6 · c (przy x) 11 · d (wyraz wolny) -6 → Rozwiązania: x₁ = 1 · x₂ = 2 · x₃ = 3. Źródło: Wikipedia – Cardanische Formeln. Stan na: .
Jak to obliczamy
Każde równanie trzeciego stopnia ax³ + bx² + cx + d = 0 ma trzy rozwiązania, jeśli dopuścimy liczby zespolone: albo trzy rzeczywiste, albo jedno rzeczywiste i dwa zespolone sprzężone. Kalkulator znajduje wszystkie trzy, pokazuje je jako liczbę lub w postaci a + bi i sprawdza każde przez podstawienie.
Jak się to oblicza
Najpierw dzieli się przez a, a podstawienie x = y − b/(3a) usuwa wyraz kwadratowy i daje postać zredukowaną y³ + p·y + q = 0. Rozstrzyga jej wyróżnik Δ = −4p³ − 27q²: przy Δ > 0 są trzy różne pierwiastki rzeczywiste, wyznaczane trygonometrycznie; przy Δ < 0 jeden rzeczywisty i dwa zespolone według wzorów Cardana; przy Δ = 0 pierwiastki wielokrotne. Wartości rzeczywiste są potem dopracowywane metodą Newtona.
Czynniki liniowe i sprawdzenie
Z rozwiązaniami wielomian można zapisać jako a(x − x₁)(x − x₂)(x − x₃). Przy rozwiązaniach zespolonych zostaje rzeczywisty czynnik kwadratowy. Kolumna „Sprawdzenie” pokazuje moduł f(x) w rozwiązaniu, rzędu 10⁻¹⁴ lub mniej.
- Przykład z pierwiastkami zespolonymi: x³ + x + 2 = 0 ma x₁ = −1 oraz x₂,₃ = 0,5 ± 1,3229i.
- Dla a = 0 równanie byłoby tylko kwadratowe; kalkulator Cię o tym informuje.
- Pierwiastki wymierne często szybciej znajdziesz, sprawdzając dzielniki wyrazu d i dzieląc wielomian.
Najczęściej zadawane pytania
Jak rozwiązać równanie trzeciego stopnia?
Albo odgadnąć jeden pierwiastek i sprowadzić równanie do kwadratowego przez dzielenie wielomianów, albo użyć wzorów Cardana. Kalkulator wybiera drugą drogę i podaje wszystkie trzy rozwiązania.
Co mówi wyróżnik równania sześciennego?
Δ > 0: trzy różne pierwiastki rzeczywiste. Δ = 0: pierwiastek wielokrotny. Δ < 0: jeden pierwiastek rzeczywisty i dwa zespolone.
Ile rozwiązań ma x³ − 6x² + 11x − 6 = 0?
Trzy rzeczywiste: 1, 2 i 3. Równanie można zapisać jako (x − 1)(x − 2)(x − 3) = 0.
Źródła i podstawa prawna
- Wikipedia – Cardanische Formeln
- Wikipedia – Cubic equation
- Wikipedia – Diskriminante (Polynom dritten Grades)
Stan na: · Zasady redakcyjne
Podobne narzędzia
- Równanie kwadratowe – kalkulatorRozwiąż równanie kwadratowe ax² + bx + c = 0: delta, pierwiastki, dokładna postać, wierzchołek paraboli, postać iloczynowa i rozwiązania zespolone.
- Równania kalkulator onlineRównania kalkulator z krokami: równania liniowe, kwadratowe i wyższych stopni, z nawiasami, ułamkami i sprawdzeniem. Za darmo i bez rejestracji.
- Dzielenie wielomianów kalkulatorDzielenie wielomianów kalkulator z obliczeniami: iloraz i reszta, sprawdzenie, schemat Hornera oraz wszystkie pierwiastki z rozkładem na czynniki, w ułamkach.
- Kalkulator liczb zespolonychKalkulator liczb zespolonych: dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie, potęgi i pierwiastki, z postacią trygonometryczną, wykładniczą i modułem.
- Wierzchołek paraboli: kalkulatorWierzchołek paraboli z f(x) = ax² + bx + c: postać kanoniczna, miejsca zerowe i oś symetrii – z tokiem obliczeń i sprawdzeniem, także w odwrotną stronę.
- Wykres funkcji onlineRysuj wykres do trzech funkcji online, przybliżaj i przesuwaj, obliczaj numerycznie miejsca zerowe, maksima i minima, zapisuj wykres jako PNG lub SVG. Za darmo.
- Kalkulator onlineDarmowy kalkulator online: wpisz lub klikaj, a wynik pojawi się od razu – z kolejnością działań, nawiasami, procentami, pierwiastkiem i historią.
- Kalkulator szerokości klasySzerokość klasy z minimum, maksimum i liczby klas albo regułą Sturgesa z n, zaokrąglona w górę do wygodnego kroku, z listą granic poszczególnych klas.
- Paradoks urodzinParadoks urodzin: prawdopodobieństwo, że dwie osoby w grupie mają urodziny tego samego dnia, albo liczebność grupy dla zadanego prawdopodobieństwa, z tabelą.