Equação do terceiro grau
Esta calculadora resolve a equação do terceiro grau assim que você digita os coeficientes a, b, c e d. Para x³ − 6x² + 11x − 6 = 0, ela mostra as três raízes x₁ = 1, x₂ = 2 e x₃ = 3.
Exemplo: a (de x³) 1 · b (de x²) -6 · c (de x) 11 · d (termo independente) -6 → Raízes: x₁ = 1 · x₂ = 2 · x₃ = 3. Fonte: Wikipedia – Cardanische Formeln. Atualizado em: .
Como o cálculo é feito
Toda equação do terceiro grau ax³ + bx² + cx + d = 0 tem três raízes se os números complexos forem permitidos: ou três reais, ou uma real e duas complexas conjugadas. A calculadora encontra as três, mostra cada uma como número ou na forma a + bi e confere por substituição.
Como o cálculo é feito
Primeiro divide-se por a, e a substituição x = y − b/(3a) elimina o termo quadrático, deixando a forma reduzida y³ + p·y + q = 0. O discriminante Δ = −4p³ − 27q² decide o caso: com Δ > 0 há três raízes reais distintas, obtidas por trigonometria; com Δ < 0, uma real e duas complexas pela fórmula de Cardano; com Δ = 0, raízes múltiplas. Os valores reais são depois refinados pelo método de Newton.
Fatores lineares e verificação
Com as raízes, o polinômio pode ser escrito como a(x − x₁)(x − x₂)(x − x₃). Com raízes complexas, sobra um fator quadrático real. A coluna “Verificação” mostra o módulo de f(x) na raiz, em torno de 10⁻¹⁴ ou menos.
- Exemplo com raízes complexas: x³ + x + 2 = 0 tem x₁ = −1 e x₂,₃ = 0,5 ± 1,3229i.
- Com a = 0 a equação seria apenas quadrática; a calculadora avisa.
- Raízes racionais costumam ser achadas mais rápido testando os divisores de d e dividindo o polinômio.
Perguntas frequentes
Como resolver uma equação do terceiro grau?
Ou se descobre uma raiz por tentativa e se reduz a uma equação quadrática pela divisão de polinômios, ou se usa a fórmula de Cardano. A calculadora segue o segundo caminho e mostra as três raízes.
O que o discriminante diz numa equação cúbica?
Δ > 0: três raízes reais distintas. Δ = 0: uma raiz múltipla. Δ < 0: uma raiz real e duas complexas.
Quantas raízes tem x³ − 6x² + 11x − 6 = 0?
Três reais: 1, 2 e 3. A equação pode ser escrita como (x − 1)(x − 2)(x − 3) = 0.
Fontes e base legal
- Wikipedia – Cardanische Formeln
- Wikipedia – Cubic equation
- Wikipedia – Diskriminante (Polynom dritten Grades)
Última atualização: · Princípios editoriais
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