三次方程式の計算
三次方程式の計算は、係数a、b、c、dを入力するだけです。x³ − 6x² + 11x − 6 = 0 なら、3つの解 x₁ = 1、x₂ = 2、x₃ = 3 が求まります。
計算例：a（x³の係数） 1 · b（x²の係数） -6 · c（xの係数） 11 · d（定数項） -6 → 解：x₁ = 1 · x₂ = 2 · x₃ = 3。出典：Wikipedia – Cardanische Formeln。更新日：
計算方法
三次方程式 ax³ + bx² + cx + d = 0 は、複素数まで含めると必ず3つの解をもちます。3つとも実数か、実数が1つと互いに共役な複素数が2つのどちらかです。このツールは3つすべてを求め、数値またはa + biの形で表示し、代入して検算します。
計算の流れ
まずaで割り、x = y − b/(3a)と置いて二次の項を消し、簡約形 y³ + p·y + q = 0 にします。判別式 Δ = −4p³ − 27q² で場合が分かれます。Δ > 0なら異なる3つの実数解があり、三角関数で求めます。Δ < 0なら実数解1つと複素数解2つで、カルダノの公式を使います。Δ = 0なら重解があります。実数解はその後ニュートン法で精度を上げます。
一次因数と検算
解がわかると、多項式は a(x − x₁)(x − x₂)(x − x₃) と書けます。複素数解があるときは、実数係数の二次の因数が残ります。「検算」の列は、解でのf(x)の絶対値で、およそ10⁻¹⁴以下になります。
- 複素数解の例：x³ + x + 2 = 0 の解は x₁ = −1 と x₂,₃ = 0.5 ± 1.3229i です。
- a = 0 だと二次方程式になってしまうため、ツールがお知らせします。
- 有理数の解は、dの約数を試して多項式の割り算をすると早く見つかることがあります。
よくある質問
三次方程式はどう解きますか。
解を1つ見つけて多項式の割り算で二次方程式にするか、カルダノの公式を使います。このツールは後者で、3つの解をすべて求めます。
三次方程式の判別式は何を表しますか。
Δ > 0なら異なる3つの実数解、Δ = 0なら重解、Δ < 0なら実数解1つと複素数解2つです。
x³ − 6x² + 11x − 6 = 0 の解はいくつですか。
実数解が3つで、1、2、3です。方程式は (x − 1)(x − 2)(x − 3) = 0 と書けます。
出典・根拠
- Wikipedia – Cardanische Formeln
- Wikipedia – Cubic equation
- Wikipedia – Diskriminante (Polynom dritten Grades)
更新日： · 編集方針
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