Derdegraadsvergelijking oplossen

Q: Hoe los je een derdegraadsvergelijking op?

Raad één oplossing en herleid tot een tweedegraadsvergelijking met een staartdeling van veeltermen, of gebruik de formules van Cardano. De rekenmachine kiest de tweede weg en geeft alle drie de oplossingen.

Q: Hoeveel oplossingen heeft x³ − 6x² + 11x − 6 = 0?

Drie reële: 1, 2 en 3. De vergelijking is te schrijven als (x − 1)(x − 2)(x − 3) = 0.

Een derdegraadsvergelijking oplossen doe je hier door de coëfficiënten a, b, c en d in te voeren. Voor x³ − 6x² + 11x − 6 = 0 krijg je de drie oplossingen x₁ = 1, x₂ = 2 en x₃ = 3.

Voorbeeld: a (bij x³) 1 · b (bij x²) -6 · c (bij x) 11 · d (constante) -6 → Oplossingen: x₁ = 1 · x₂ = 2 · x₃ = 3. Bron: Wikipedia – Cardanische Formeln. Bijgewerkt: 2 oktober 2026.

a (bij x³)

mag niet 0 zijn

b (bij x²)

c (bij x)

d (constante)

Mijn toolboxJe invoer wordt alleen in deze browser opgeslagen.

Resultaat

Oplossingen: x₁ = 1 · x₂ = 2 · x₃ = 3
Oplossingen met controle: Oplossing Waarde Controle |f(x)|
x₁ 1 0
x₂ 2 0
x₃ 3 0
Rekenwaarden: Gegeven Waarde
Soort oplossingen drie verschillende reële oplossingen (Δ > 0)
Discriminant Δ 4
Gereduceerde vorm y³ + p·y + q = 0 met p = −1 en q = 0; x = y − b/(3a)
Lineaire factoren (x − 1) · (x − 2) · (x − 3)

Oplossing	Waarde	Controle \|f(x)\|
x₁	1	0
x₂	2	0
x₃	3	0

Gegeven	Waarde
Soort oplossingen	drie verschillende reële oplossingen (Δ > 0)
Discriminant Δ	4
Gereduceerde vorm	y³ + p·y + q = 0 met p = −1 en q = 0; x = y − b/(3a)
Lineaire factoren	(x − 1) · (x − 2) · (x − 3)

Zo wordt het berekend

Elke derdegraadsvergelijking ax³ + bx² + cx + d = 0 heeft drie oplossingen als complexe getallen zijn toegestaan: óf drie reële, óf één reële en twee complex toegevoegde. De rekenmachine vindt ze alle drie, toont ze als getal of in de vorm a + bi en controleert elke oplossing door invullen.

Zo wordt er gerekend

Eerst wordt door a gedeeld en de substitutie x = y − b/(3a) haalt de kwadratische term weg, zodat de gereduceerde vorm y³ + p·y + q = 0 overblijft. De discriminant Δ = −4p³ − 27q² beslist: bij Δ > 0 zijn er drie verschillende reële oplossingen, goniometrisch bepaald; bij Δ < 0 één reële en twee complexe volgens de formule van Cardano; bij Δ = 0 meervoudige oplossingen. Reële waarden worden daarna met de methode van Newton verfijnd.

Lineaire factoren en controle

Met de oplossingen is de veelterm te schrijven als a(x − x₁)(x − x₂)(x − x₃). Bij complexe oplossingen blijft een reële kwadratische factor over. De kolom “Controle” toont de absolute waarde van f(x) bij de oplossing, ongeveer 10⁻¹⁴ of kleiner.

Voorbeeld met complexe oplossingen: x³ + x + 2 = 0 heeft x₁ = −1 en x₂,₃ = 0,5 ± 1,3229i.
Bij a = 0 zou de vergelijking slechts kwadratisch zijn; de rekenmachine meldt dat.
Rationale oplossingen vind je vaak sneller door delers van d uit te proberen en de veelterm te delen.

Veelgestelde vragen

Hoe los je een derdegraadsvergelijking op?

Raad één oplossing en herleid tot een tweedegraadsvergelijking met een staartdeling van veeltermen, of gebruik de formules van Cardano. De rekenmachine kiest de tweede weg en geeft alle drie de oplossingen.

Wat zegt de discriminant bij een derdegraadsvergelijking?

Δ > 0: drie verschillende reële oplossingen. Δ = 0: een meervoudige oplossing. Δ < 0: één reële en twee complexe oplossingen.

Hoeveel oplossingen heeft x³ − 6x² + 11x − 6 = 0?