Üçüncü derece denklem çözümü

Q: Üçüncü derece denklem nasıl çözülür?

Ya bir kök tahmin edilip polinom bölmesiyle ikinci derece denkleme indirgenir ya da Cardano formülleri kullanılır. Araç ikinci yolu izler ve üç kökü de verir.

Q: x³ − 6x² + 11x − 6 = 0 denkleminin kaç kökü vardır?

Üç gerçek kök: 1, 2 ve 3. Denklem (x − 1)(x − 2)(x − 3) = 0 biçiminde yazılabilir.

Üçüncü derece denklem çözümü için a, b, c ve d katsayılarını girmeniz yeterlidir. x³ − 6x² + 11x − 6 = 0 denkleminde araç üç kökü verir: x₁ = 1, x₂ = 2 ve x₃ = 3.

Örnek: a (x³ katsayısı) 1 · b (x² katsayısı) -6 · c (x katsayısı) 11 · d (sabit terim) -6 → Kökler: x₁ = 1 · x₂ = 2 · x₃ = 3. Kaynak: Wikipedia – Cubic formula. Güncelleme: 2 Ekim 2026.

a (x³ katsayısı)

0 olamaz

b (x² katsayısı)

c (x katsayısı)

d (sabit terim)

AraçlarımGirdileriniz yalnızca bu tarayıcıda saklanır.

Sonuç

Kökler: x₁ = 1 · x₂ = 2 · x₃ = 3
Kontrollü kökler: Kök Değer Kontrol |f(x)|
x₁ 1 0
x₂ 2 0
x₃ 3 0
Hesap değerleri: Bilgi Değer
Köklerin türü üç farklı gerçek kök (Δ > 0)
Diskriminant Δ 4
İndirgenmiş biçim y³ + p·y + q = 0, burada p = −1 ve q = 0; x = y − b/(3a)
Doğrusal çarpanlar (x − 1) · (x − 2) · (x − 3)

Kök	Değer	Kontrol \|f(x)\|
x₁	1	0
x₂	2	0
x₃	3	0

Bilgi	Değer
Köklerin türü	üç farklı gerçek kök (Δ > 0)
Diskriminant Δ	4
İndirgenmiş biçim	y³ + p·y + q = 0, burada p = −1 ve q = 0; x = y − b/(3a)
Doğrusal çarpanlar	(x − 1) · (x − 2) · (x − 3)

Nasıl hesaplanır?

Her üçüncü derece denklem ax³ + bx² + cx + d = 0, karmaşık sayılara izin verildiğinde üç köke sahiptir: ya üç gerçek kök ya da bir gerçek ve iki eşlenik karmaşık kök. Araç üçünü de bulur, sayı olarak veya a + bi biçiminde gösterir ve her birini yerine koyarak kontrol eder.

Hesap nasıl yapılır

Önce a'ya bölünür ve x = y − b/(3a) dönüşümü ikinci dereceli terimi yok ederek y³ + p·y + q = 0 indirgenmiş biçimini verir. Diskriminant Δ = −4p³ − 27q² durumu belirler: Δ > 0 ise üç farklı gerçek kök vardır ve trigonometrik olarak bulunur; Δ < 0 ise Cardano formülüyle bir gerçek ve iki karmaşık kök çıkar; Δ = 0 ise katlı kökler vardır. Gerçek değerler daha sonra Newton yöntemiyle inceltilir.

Doğrusal çarpanlar ve kontrol

Köklerle polinom a(x − x₁)(x − x₂)(x − x₃) biçiminde yazılabilir. Karmaşık köklerde gerçek katsayılı bir ikinci derece çarpan kalır. “Kontrol” sütunu kökteki |f(x)| değerini gösterir; bu değer yaklaşık 10⁻¹⁴ veya daha küçüktür.

Karmaşık köklü örnek: x³ + x + 2 = 0 denkleminin kökleri x₁ = −1 ve x₂,₃ = 0,5 ± 1,3229i'dir.
a = 0 olsaydı denklem yalnızca ikinci derece olurdu; araç sizi bu konuda uyarır.
Rasyonel kökler çoğu zaman d'nin bölenlerini deneyip polinomu bölerek daha hızlı bulunur.

Sıkça sorulan sorular

Üçüncü derece denklem nasıl çözülür?

Ya bir kök tahmin edilip polinom bölmesiyle ikinci derece denkleme indirgenir ya da Cardano formülleri kullanılır. Araç ikinci yolu izler ve üç kökü de verir.

Üçüncü derece denklemde diskriminant ne söyler?

Δ > 0: üç farklı gerçek kök. Δ = 0: katlı kök. Δ < 0: bir gerçek ve iki karmaşık kök.

x³ − 6x² + 11x − 6 = 0 denkleminin kaç kökü vardır?