TR

Karmaşık sayılar hesaplama

Bu araçla karmaşık sayılar hesaplama işlemlerini a + bi biçimindeki sayılarla yaparsınız; sonuç, kutupsal biçim, Euler biçimi ve modül gösterilir. Örnek: (3 + 4i) · (1 − 2i) = 11 − 2i; 3 + 4i sayısının modülü 5’tir.

Örnek: Ne hesaplanacak: İki sayıyla işlem (+ − · ÷) · z₁: gerçel kısım a 3 · z₁: sanal kısım b 4 · İşlem: Çarpma z₁ · z₂ · z₂: gerçel kısım c 1 · z₂: sanal kısım d -2 → Sonuç (kartezyen): z = 11 − 2i. Kaynak: Wolfram MathWorld – Complex number. Güncelleme: .

i’nin önündeki çarpan
i’nin önündeki çarpan
AraçlarımGirdileriniz yalnızca bu tarayıcıda saklanır.

Sonuç

Sonuç (kartezyen)
z = 11 − 2i
Kutupsal biçim
11,18034 · (cos −10,304846° + i · sin −10,304846°)
Euler biçimi
11,18034 · e^(i · −0,179853)
Modül
|z| = 11,18034
Eşlenik
z̄ = 11 + 2i
Başlangıç sayısı hakkında
z₁ = 3 + 4i sayısının modülü 5, argümanı 53,130102°’dir.
Hesap adımları
  • (a + bi) · (c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i
  • (3 · 1 − 4 · (−2)) + (3 · (−2) + 4 · 1)i

Nasıl hesaplanır?

Karmaşık sayı z = a + bi biçimindedir; a gerçel kısım, b sanal kısım, i ise i² = −1 olan sanal birimdir. Hesaplayıcı dört işlemi, üsleri ve kökleri yapar ve her sayıyı kutupsal ile Euler biçiminde de verir.

Hesap kuralları

Kutupsal biçim ve Euler biçimi

r = |z| ve argüman φ (−180° ile 180° arası) ile z = r · (cos φ + i · sin φ) = r · eiφ olur. Bu biçimde çarpma, modüllerin çarpılması ve açıların toplanması demektir; üsler ve kökler de Moivre formülünden gelir: zⁿ = rⁿ · (cos nφ + i · sin nφ).

Örnek

(3 + 4i) · (1 − 2i) = 3 − 6i + 4i − 8i² = 11 − 2i. Modüllerle kontrol: 5 · √5 = √125 = 11,18 = |11 − 2i|. 1’in küp kökleri 1 ve −0,5 ± 0,866i’dir: birim çember üzerinde eşit aralıklı üç nokta.

Karmaşık sayılar ne işe yarar?

Elektrik mühendisliğinde alternatif akım için (empedans, faz), sinyal işlemede (Fourier dönüşümü), kontrol mühendisliğinde ve kuantum fiziğinde – ayrıca matematikte her polinom denkleminin çözümü olması için.

Sıkça sorulan sorular

Karmaşık sayılar nasıl çarpılır?

Parantezler açılır ve i² yerine −1 yazılır: (a + bi)(c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i. Kutupsal biçimde modüller çarpılır, açılar toplanır.

Karmaşık sayılar nasıl bölünür?

Pay ve payda, paydanın eşleniğiyle genişletilir. Payda gerçel olur: c² + d². 0 + 0i’ye bölme mümkün değildir.

Modül ve açı nasıl hesaplanır?

Modül r = √(a² + b²). Açı φ, atan2(b, a) ile bulunur; araç −180° ile 180° arasındaki esas değeri verir (radyan olarak da).

Karmaşık sayının kökü nasıl alınır?

Kutupsal biçimle: n. kökün modülü ⁿ√r, açıları k = 0’dan n − 1’e kadar (φ + 360° · k) / n’dir. Her zaman tam n çözüm vardır ve araç hepsini listeler.

Eşlenik karmaşık sayı nedir?

z = a + bi için z̄ = a − bi’dir. z · z̄ = a² + b² çarpımı gerçeldir ve modülün karesine eşittir.

Kaynaklar ve yasal dayanak

Güncelleme: · Editoryal ilkeler

Benzer araçlar